Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salpreimagtge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salpreimagtge 39405
Description: If all the preimages of left-open, unbounded above intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of left-closed, unbounded above intervals, belong to the sigma-algebra. (iii) implies (iv) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salpreimagtge.x 𝑥𝜑
salpreimagtge.a 𝑎𝜑
salpreimagtge.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salpreimagtge.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimagtge.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
salpreimagtge.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
salpreimagtge (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimagtge
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 salpreimagtge.x . . 3 𝑥𝜑
2 salpreimagtge.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 salpreimagtge.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
41, 2, 3preimageiingt 39401 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
5 salpreimagtge.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 nnct 12600 . . . 4 ℕ ≼ ω
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
8 nnn0 38330 . . . 4 ℕ ≠ ∅
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
103adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
11 nnrecre 10907 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1211adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1310, 12resubcld 10310 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
14 salpreimagtge.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
15 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑎(𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ
1614, 15nfan 1816 . . . . . 6 𝑎(𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
17 nfv 1830 . . . . . 6 𝑎{𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆
1816, 17nfim 1813 . . . . 5 𝑎((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
19 ovex 6555 . . . . 5 (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ V
20 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ ↔ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ))
2120anbi2d 736 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)))
22 breq1 4581 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (𝑎 < 𝐵 ↔ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
2322rabbidv 3164 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
2423eleq1d 2672 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → ({𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆))
2521, 24imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)))
26 salpreimagtge.p . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2718, 19, 25, 26vtoclf 3231 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
2813, 27syldan 486 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
295, 7, 9, 28saliincl 39015 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
304, 29eqeltrd 2688 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wnf 1699  wcel 1977  wne 2780  {crab 2900  c0 3874   ciin 4451   class class class wbr 4578  (class class class)co 6527  ωcom 6935  cdom 7817  cr 9792  1c1 9794  *cxr 9930   < clt 9931  cle 9932  cmin 10118   / cdiv 10536  cn 10870  SAlgcsalg 38998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-inf 8210  df-card 8626  df-acn 8629  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-fl 12413  df-salg 38999
This theorem is referenced by:  salpreimalelt  39409  salpreimagtlt  39410  issmfge  39450
  Copyright terms: Public domain W3C validator