Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  saluncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saluncl 39870
 Description: The union of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
saluncl ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saluncl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniprg 4421 . . . 4 ((𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} = (𝐸𝐹))
21eqcomd 2627 . . 3 ((𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = {𝐸, 𝐹})
323adant1 1077 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = {𝐸, 𝐹})
4 prfi 8187 . . . . 5 {𝐸, 𝐹} ∈ Fin
5 isfinite 8501 . . . . . . 7 ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin ↔ {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
65biimpi 206 . . . . . 6 ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
7 sdomdom 7935 . . . . . 6 ({𝐸, 𝐹} ≺ ω → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
86, 7syl 17 . . . . 5 ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
94, 8ax-mp 5 . . . 4 {𝐸, 𝐹} ≼ ω
109a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
11 prelpwi 4881 . . . . 5 ((𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
12113adant1 1077 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
13 issal 39867 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ SAlg → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))))
1413ibi 256 . . . . . 6 (𝑆 ∈ SAlg → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆)))
1514simp3d 1073 . . . . 5 (𝑆 ∈ SAlg → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))
16153ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))
17 breq1 4621 . . . . . 6 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → (𝑦 ≼ ω ↔ {𝐸, 𝐹} ≼ ω))
18 unieq 4415 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → 𝑦 = {𝐸, 𝐹})
1918eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ( 𝑦𝑆 {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
2017, 19imbi12d 334 . . . . 5 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ((𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆) ↔ ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)))
2120rspcva 3296 . . . 4 (({𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆)) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
2212, 16, 21syl2anc 692 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
2310, 22mpd 15 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)
243, 23eqeltrd 2698 1 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ∖ cdif 3556   ∪ cun 3557  ∅c0 3896  𝒫 cpw 4135  {cpr 4155  ∪ cuni 4407   class class class wbr 4618  ωcom 7019   ≼ cdom 7905   ≺ csdm 7906  Fincfn 7907  SAlgcsalg 39861 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-salg 39862 This theorem is referenced by:  salincl  39876  saluncld  39899
 Copyright terms: Public domain W3C validator