Theorem sbcie 3811

Description: Conversion of implicit substitution to explicit class substitution. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbcie.1	⊢ 𝐴 ∈ V
sbcie.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
sbcie	⊢ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem sbcie

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcie.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		sbcie.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	sbcieg 3809	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  [wsbc 3771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-12 2173  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-v 3496  df-sbc 3772

This theorem is referenced by:  rexopabb  5414  reuop  6143  tfinds2  7577  findcard2  8757  ac6sfi  8761  ac6num  9900  fpwwe  10067  nn1suc  11658  wrdind  14083  cjth  14461  fprodser  15302  prmind2  16028  joinlem  17620  meetlem  17634  mndind  17991  isghm  18357  islmod  19637  islindf  20955  fgcl  22485  cfinfil  22500  csdfil  22501  supfil  22502  fin1aufil  22539  quotval  24880  dfconngr1  27966  isconngr  27967  isconngr1  27968  wrdt2ind  30627  bnj62  31990  bnj610  32018  bnj976  32049  bnj106  32140  bnj125  32144  bnj154  32150  bnj155  32151  bnj526  32160  bnj540  32164  bnj591  32183  bnj609  32189  bnj893  32200  bnj1417  32313  soseq  33096  poimirlem27  34918  sdclem2  35016  fdc  35019  fdc1  35020  lshpkrlem3  36247  hdmap1fval  38931  hdmapfval  38962  rabren3dioph  39410  2nn0ind  39540  zindbi  39541  onfrALTlem5  40874  onfrALTlem5VD  41217  reupr  43683