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Theorem sbgoldbwt 41990
Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, then the (weak) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
sbgoldbwt (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem sbgoldbwt
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddz 41869 . . . 4 (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℤ)
2 5nn 11226 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
32nnzi 11439 . . . . . . 7 5 ∈ ℤ
4 zltp1le 11465 . . . . . . 7 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
53, 4mpan 706 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
6 5p1e6 11193 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
76breq1i 4692 . . . . . . . 8 ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 6 ≤ 𝑚)
8 6re 11139 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 6 ∈ ℝ)
10 zre 11419 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
119, 10leloed 10218 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℤ → (6 ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
127, 11syl5bb 272 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
13 6nn 11227 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ
1413nnzi 11439 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℤ
15 zltp1le 11465 . . . . . . . . . . . 12 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
1614, 15mpan 706 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
17 6p1e7 11194 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 + 1) = 7
1817breq1i 4692 . . . . . . . . . . . . 13 ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 7 ≤ 𝑚)
19 7re 11141 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ)
2120, 10leloed 10218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℤ → (7 ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
2218, 21syl5bb 272 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
23 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 𝑚 ∈ Odd )
24 3odd 41942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ Odd
2523, 24jctir 560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
26 omoeALTV 41921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑚 − 3) ∈ Even )
27 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑚 − 3) → (4 < 𝑛 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
28 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑚 − 3) → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
2927, 28imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑚 − 3) → ((4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
3029rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 − 3) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
3125, 26, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
32 4p3e7 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 + 3) = 7
3332eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7 = (4 + 3)
3433breq1i 4692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (7 < 𝑚 ↔ (4 + 3) < 𝑚)
35 4re 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 ∈ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
37 3re 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
39 ltaddsub 10540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
4039biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
4136, 38, 10, 40syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 ∈ ℤ → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
4234, 41syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 ∈ ℤ → (7 < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
4342impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) → 4 < (𝑚 − 3))
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 4 < (𝑚 − 3))
45 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 < (𝑚 − 3) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
47 isgbe 41964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))))
48 3prm 15453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 ∈ ℙ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℙ)
50 zcn 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
51 3cn 11133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 ∈ ℂ
5250, 51jctir 560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
53 npcan 10328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑚 − 3) + 3) = 𝑚)
5453eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
5552, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
56 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (3 = 𝑟 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
5756eqcoms 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑟 = 3 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
5855, 57sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑟 = 3) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
5949, 58rspcedeq2vd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
60 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑚 − 3) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
6160eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6261rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6359, 62syl5ib 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
64633ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6564com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℤ → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6665ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6766reximdva 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6867reximdva 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6968, 23jctild 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
70 isgbow 41965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
7169, 70syl6ibr 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
7271adantld 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
7347, 72syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
7431, 46, 733syld 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
7574ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
7675com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
7776ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
78 7gbow 41985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7 ∈ GoldbachOddW
79 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (7 = 𝑚 → (7 ∈ GoldbachOddW ↔ 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
8078, 79mpbii 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (7 = 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW )
8180a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
8281a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
8382a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
8477, 83jaoi 393 . . . . . . . . . . . . 13 ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
8584com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℤ → ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
8622, 85sylbid 230 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
8716, 86sylbid 230 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
8887com12 32 . . . . . . . . 9 (6 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
89 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (6 = 𝑚 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑚 ∈ Odd ))
90 6even 41945 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ Even
91 evennodd 41881 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
9291pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . 13 (6 ∈ Even → (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
9390, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )
9489, 93syl6bir 244 . . . . . . . . . . 11 (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
9594a1d 25 . . . . . . . . . 10 (6 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
9695a1d 25 . . . . . . . . 9 (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
9788, 96jaoi 393 . . . . . . . 8 ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
9897com12 32 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
9912, 98sylbid 230 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
1005, 99sylbid 230 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
101100com24 95 . . . 4 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
1021, 101mpcom 38 . . 3 (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
103102impcom 445 . 2 ((∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
104103ralrimiva 2995 1 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  7c7 11113  cz 11415  cprime 15432   Even ceven 41862   Odd codd 41863   GoldbachEven cgbe 41958   GoldbachOddW cgbow 41959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-prm 15433  df-even 41864  df-odd 41865  df-gbe 41961  df-gbow 41962
This theorem is referenced by:  sbgoldbm  41997  bgoldbnnsum3prm  42017
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