Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sblpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sblpnf 38928
Description: The infinity ball in the absolute value metric is just the whole space. 𝑆 analogue of blpnf 22324. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sblpnf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
sblpnf.d 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
Assertion
Ref Expression
sblpnf ((𝜑𝑃𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)

Proof of Theorem sblpnf
StepHypRef Expression
1 sblpnf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 elpri 4305 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3 sblpnf.d . . . . 5 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
4 eqid 2724 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
54remet 22715 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
6 xpeq12 5243 . . . . . . . . 9 ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
76anidms 680 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℝ → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
87reseq2d 5503 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
9 fveq2 6304 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℝ))
108, 9eleq12d 2797 . . . . . 6 (𝑆 = ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)))
115, 10mpbiri 248 . . . . 5 (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
123, 11syl5eqel 2807 . . . 4 (𝑆 = ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
13 relco 5746 . . . . . . . . 9 Rel (abs ∘ − )
14 resdm 5551 . . . . . . . . 9 (Rel (abs ∘ − ) → ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − ))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − )
16 absf 14197 . . . . . . . . . . . 12 abs:ℂ⟶ℝ
17 ax-resscn 10106 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
18 fss 6169 . . . . . . . . . . . 12 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → abs:ℂ⟶ℂ)
1916, 17, 18mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℂ
20 subf 10396 . . . . . . . . . . 11 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
21 fco 6171 . . . . . . . . . . 11 ((abs:ℂ⟶ℂ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
2219, 20, 21mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2322fdmi 6165 . . . . . . . . 9 dom (abs ∘ − ) = (ℂ × ℂ)
2423reseq2i 5500 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
2515, 24eqtr3i 2748 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
26 cnmet 22697 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2725, 26eqeltrri 2800 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)
28 xpeq12 5243 . . . . . . . . 9 ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
2928anidms 680 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℂ → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
3029reseq2d 5503 . . . . . . 7 (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
31 fveq2 6304 . . . . . . 7 (𝑆 = ℂ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℂ))
3230, 31eleq12d 2797 . . . . . 6 (𝑆 = ℂ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)))
3327, 32mpbiri 248 . . . . 5 (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
343, 33syl5eqel 2807 . . . 4 (𝑆 = ℂ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
3512, 34jaoi 393 . . 3 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
361, 2, 353syl 18 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
37 blpnf 22324 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑆) ∧ 𝑃𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)
3836, 37sylan 489 1 ((𝜑𝑃𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wss 3680  {cpr 4287   × cxp 5216  dom cdm 5218  cres 5220  ccom 5222  Rel wrel 5223  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  +∞cpnf 10184  cmin 10379  abscabs 14094  Metcme 19855  ballcbl 19856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864
This theorem is referenced by:  dvconstbi  38952
  Copyright terms: Public domain W3C validator