Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sblpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sblpnf 37988
Description: The infinity ball in the absolute value metric is just the whole space. 𝑆 analogue of blpnf 22112. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sblpnf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
sblpnf.d 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
Assertion
Ref Expression
sblpnf ((𝜑𝑃𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)

Proof of Theorem sblpnf
StepHypRef Expression
1 sblpnf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 elpri 4168 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3 sblpnf.d . . . . 5 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
4 eqid 2621 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
54remet 22501 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
6 xpeq12 5094 . . . . . . . . 9 ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
76anidms 676 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℝ → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
87reseq2d 5356 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
9 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℝ))
108, 9eleq12d 2692 . . . . . 6 (𝑆 = ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)))
115, 10mpbiri 248 . . . . 5 (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
123, 11syl5eqel 2702 . . . 4 (𝑆 = ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
13 relco 5592 . . . . . . . . 9 Rel (abs ∘ − )
14 resdm 5400 . . . . . . . . 9 (Rel (abs ∘ − ) → ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − ))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − )
16 absf 14011 . . . . . . . . . . . 12 abs:ℂ⟶ℝ
17 ax-resscn 9937 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
18 fss 6013 . . . . . . . . . . . 12 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → abs:ℂ⟶ℂ)
1916, 17, 18mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℂ
20 subf 10227 . . . . . . . . . . 11 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
21 fco 6015 . . . . . . . . . . 11 ((abs:ℂ⟶ℂ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
2219, 20, 21mp2an 707 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2322fdmi 6009 . . . . . . . . 9 dom (abs ∘ − ) = (ℂ × ℂ)
2423reseq2i 5353 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
2515, 24eqtr3i 2645 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
26 cnmet 22485 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2725, 26eqeltrri 2695 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)
28 xpeq12 5094 . . . . . . . . 9 ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
2928anidms 676 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℂ → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
3029reseq2d 5356 . . . . . . 7 (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
31 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑆 = ℂ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℂ))
3230, 31eleq12d 2692 . . . . . 6 (𝑆 = ℂ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)))
3327, 32mpbiri 248 . . . . 5 (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
343, 33syl5eqel 2702 . . . 4 (𝑆 = ℂ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
3512, 34jaoi 394 . . 3 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
361, 2, 353syl 18 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
37 blpnf 22112 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑆) ∧ 𝑃𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)
3836, 37sylan 488 1 ((𝜑𝑃𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  {cpr 4150   × cxp 5072  dom cdm 5074  cres 5076  ccom 5078  Rel wrel 5079  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  +∞cpnf 10015  cmin 10210  abscabs 13908  Metcme 19651  ballcbl 19652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660
This theorem is referenced by:  dvconstbi  38012
  Copyright terms: Public domain W3C validator