MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sbthlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sbthlem10 8023
Description: Lemma for sbth 8024. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1 𝐴 ∈ V
sbthlem.2 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝐴𝑥))}
sbthlem.3 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
sbthlem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
sbthlem10 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝑓,𝑔   𝑥,𝐻   𝑓,𝑔,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem sbthlem10
StepHypRef Expression
1 sbthlem.4 . . . . 5 𝐵 ∈ V
21brdom 7911 . . . 4 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
3 sbthlem.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
43brdom 7911 . . . 4 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴)
52, 4anbi12i 732 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴))
6 eeanv 2181 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴))
75, 6bitr4i 267 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴))
8 sbthlem.3 . . . . 5 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
9 vex 3189 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
109resex 5402 . . . . . 6 (𝑓 𝐷) ∈ V
11 vex 3189 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
1211cnvex 7060 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
1312resex 5402 . . . . . 6 (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) ∈ V
1410, 13unex 6909 . . . . 5 ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ∈ V
158, 14eqeltri 2694 . . . 4 𝐻 ∈ V
16 sbthlem.2 . . . . 5 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝐴𝑥))}
173, 16, 8sbthlem9 8022 . . . 4 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
18 f1oen3g 7915 . . . 4 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
1915, 17, 18sylancr 694 . . 3 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵)
2019exlimivv 1857 . 2 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵)
217, 20sylbi 207 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  {cab 2607  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  wss 3555   cuni 4402   class class class wbr 4613  ccnv 5073  cres 5076  cima 5077  1-1wf1 5844  1-1-ontowf1o 5846  cen 7896  cdom 7897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-en 7900  df-dom 7901
This theorem is referenced by:  sbth  8024
  Copyright terms: Public domain W3C validator