MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sca2rab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sca2rab 23004
Description: If 𝐵 is a scale of 𝐴 by 𝐶, then 𝐴 is a scale of 𝐵 by 1 / 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ovolsca.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
ovolsca.3 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
Assertion
Ref Expression
sca2rab (𝜑𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem sca2rab
StepHypRef Expression
1 ovolsca.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
21sseld 3566 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
32pm4.71rd 664 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
4 ovolsca.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
54adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
65eleq2d 2672 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴}))
7 ovolsca.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
87adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ+)
98rprecred 11715 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
10 remulcl 9877 . . . . . . . 8 (((1 / 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ ℝ)
119, 10sylancom 697 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ ℝ)
12 oveq2 6535 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((1 / 𝐶) · 𝑦) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)))
1312eleq1d 2671 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((1 / 𝐶) · 𝑦) → ((𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
1413elrab3 3331 . . . . . . 7 (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ ℝ → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ↔ (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
1511, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ↔ (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
16 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
1716recnd 9924 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
188rpcnd 11706 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
198rpne0d 11709 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ≠ 0)
2017, 18, 19divrec2d 10654 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 / 𝐶) = ((1 / 𝐶) · 𝑦))
2120oveq2d 6543 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)))
2217, 18, 19divcan2d 10652 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
2321, 22eqtr3d 2645 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) = 𝑦)
2423eleq1d 2671 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴𝑦𝐴))
256, 15, 243bitrd 292 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵𝑦𝐴))
2625pm5.32da 670 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
273, 26bitr4d 269 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵)))
2827abbi2dv 2728 . 2 (𝜑𝐴 = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵)})
29 df-rab 2904 . 2 {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵)}
3028, 29syl6eqr 2661 1 (𝜑𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  {cab 2595  {crab 2899  wss 3539  (class class class)co 6527  cr 9791  1c1 9793   · cmul 9797   / cdiv 10533  +crp 11664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-rp 11665
This theorem is referenced by:  ovolsca  23007
  Copyright terms: Public domain W3C validator