Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmateALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmateALT 20258
 Description: Alternate proof of scmate 20256: An entry of an 𝑁 x 𝑁 scalar matrix over the ring 𝑅. This prove makes use of scmatmats 20257 but is longer and requires more distinct variables. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatmat.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatmat.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmate.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmate.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmateALT (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑆) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ∃𝑐𝐾 (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 ))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐   𝐼,𝑐   𝐽,𝑐   𝐾,𝑐   𝑆,𝑐   𝐵,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   0 (𝑐)

Proof of Theorem scmateALT
Dummy variables 𝑚 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatmat.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 scmatmat.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 scmatmat.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
4 scmate.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 scmate.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
61, 2, 3, 4, 5scmatmats 20257 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )})
76eleq2d 2684 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝑆𝑀 ∈ {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )}))
8 oveq 6621 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑀 → (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
98eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) ↔ (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
1092ralbidv 2985 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
1110rexbidv 3047 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → (∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) ↔ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
1211elrab 3351 . . . . 5 (𝑀 ∈ {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )} ↔ (𝑀𝐵 ∧ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
13 oveq1 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝑗))
14 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = 𝑗𝐼 = 𝑗))
1514ifbid 4086 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) = if(𝐼 = 𝑗, 𝑐, 0 ))
1613, 15eqeq12d 2636 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) ↔ (𝐼𝑀𝑗) = if(𝐼 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
17 oveq2 6623 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝐽 → (𝐼𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
18 eqeq2 2632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → (𝐼 = 𝑗𝐼 = 𝐽))
1918ifbid 4086 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝐽 → if(𝐼 = 𝑗, 𝑐, 0 ) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 ))
2017, 19eqeq12d 2636 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼𝑀𝑗) = if(𝐼 = 𝑗, 𝑐, 0 ) ↔ (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 )))
2116, 20rspc2v 3311 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) → (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 )))
2221reximdv 3012 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → (∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) → ∃𝑐𝐾 (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 )))
2322com12 32 . . . . . . 7 (∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) → ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → ∃𝑐𝐾 (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 )))
2423adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀𝐵 ∧ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )) → ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → ∃𝑐𝐾 (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 )))
2524a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑀𝐵 ∧ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )) → ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → ∃𝑐𝐾 (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 ))))
2612, 25syl5bi 232 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )} → ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → ∃𝑐𝐾 (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 ))))
277, 26sylbid 230 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝑆 → ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → ∃𝑐𝐾 (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 ))))
2827ex 450 . 2 (𝑁 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀𝑆 → ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → ∃𝑐𝐾 (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 )))))
29283imp1 1277 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑆) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ∃𝑐𝐾 (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2908  ∃wrex 2909  {crab 2912  ifcif 4064  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  Basecbs 15800  0gc0g 16040  Ringcrg 18487   Mat cmat 20153   ScMat cscmat 20235 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-ot 4164  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-hom 15906  df-cco 15907  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-prds 16048  df-pws 16050  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-subrg 18718  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-dsmm 20016  df-frlm 20031  df-mamu 20130  df-mat 20154  df-scmat 20237 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator