MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatghm 21070
Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o 1 = (1r𝐴)
scmatrhmval.t = ( ·𝑠𝐴)
scmatrhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
scmatrhmval.c 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s 𝑆 = (𝐴s 𝐶)
Assertion
Ref Expression
scmatghm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥,   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem scmatghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatrhmval.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2818 . 2 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 eqid 2818 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2818 . 2 (+g𝑆) = (+g𝑆)
5 ringgrp 19231 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
65adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
7 scmatrhmval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9 eqid 2818 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
10 scmatrhmval.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
117, 8, 1, 9, 10scmatsgrp 21056 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝐴))
12 scmatghm.s . . . 4 𝑆 = (𝐴s 𝐶)
1312subggrp 18220 . . 3 (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝐴) → 𝑆 ∈ Grp)
1411, 13syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ Grp)
15 scmatrhmval.o . . . 4 1 = (1r𝐴)
16 scmatrhmval.t . . . 4 = ( ·𝑠𝐴)
17 scmatrhmval.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
181, 7, 15, 16, 17, 10scmatf 21066 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾𝐶)
197, 10, 12scmatstrbas 21063 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑆) = 𝐶)
2019feq3d 6494 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:𝐾𝐶))
2118, 20mpbird 258 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆))
227matsca2 20957 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
2310ovexi 7179 . . . . . . . . . 10 𝐶 ∈ V
24 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
2512, 24resssca 16638 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ V → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑆))
2623, 25mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑆))
2722, 26eqtrd 2853 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
2827fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑆)))
2928oveqd 7162 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) = (𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧))
3029oveq1d 7160 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧) 1 ) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) 1 ))
3130adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧) 1 ) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) 1 ))
327matlmod 20966 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
337, 10scmatlss 21062 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐴))
34 eqid 2818 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝐴) = (LSubSp‘𝐴)
3512, 34lsslmod 19661 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐴)) → 𝑆 ∈ LMod)
3632, 33, 35syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ LMod)
3736adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 𝑆 ∈ LMod)
3827fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
391, 38syl5eq 2865 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
4039eleq2d 2895 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦𝐾𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
4140biimpd 230 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦𝐾𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
4241adantrd 492 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦𝐾𝑧𝐾) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
4342imp 407 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
4439eleq2d 2895 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧𝐾𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
4544biimpd 230 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧𝐾𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
4645adantld 491 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦𝐾𝑧𝐾) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
4746imp 407 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
487, 8, 1, 9, 10scmatid 21051 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐶)
4915a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 = (1r𝐴))
5048, 49, 193eltr4d 2925 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
5150adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
52 eqid 2818 . . . . . 6 (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
5312, 16ressvsca 16639 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ V → = ( ·𝑠𝑆))
5423, 53ax-mp 5 . . . . . 6 = ( ·𝑠𝑆)
55 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
56 eqid 2818 . . . . . 6 (+g‘(Scalar‘𝑆)) = (+g‘(Scalar‘𝑆))
572, 4, 52, 54, 55, 56lmodvsdir 19587 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) 1 ) = ((𝑦 1 )(+g𝑆)(𝑧 1 )))
5837, 43, 47, 51, 57syl13anc 1364 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) 1 ) = ((𝑦 1 )(+g𝑆)(𝑧 1 )))
5931, 58eqtrd 2853 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧) 1 ) = ((𝑦 1 )(+g𝑆)(𝑧 1 )))
60 simpr 485 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
6160adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
6260anim1i 614 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)))
63 3anass 1087 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)))
6462, 63sylibr 235 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾))
651, 3ringacl 19257 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
6664, 65syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
671, 7, 15, 16, 17scmatrhmval 21064 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧) 1 ))
6861, 66, 67syl2anc 584 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧) 1 ))
691, 7, 15, 16, 17scmatrhmval 21064 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) = (𝑦 1 ))
7069ad2ant2lr 744 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹𝑦) = (𝑦 1 ))
711, 7, 15, 16, 17scmatrhmval 21064 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐾) → (𝐹𝑧) = (𝑧 1 ))
7271ad2ant2l 742 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹𝑧) = (𝑧 1 ))
7370, 72oveq12d 7163 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝐹𝑦)(+g𝑆)(𝐹𝑧)) = ((𝑦 1 )(+g𝑆)(𝑧 1 )))
7459, 68, 733eqtr4d 2863 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(+g𝑆)(𝐹𝑧)))
751, 2, 3, 4, 6, 14, 21, 74isghmd 18305 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  Basecbs 16471  s cress 16472  +gcplusg 16553  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211   GrpHom cghm 18293  1rcur 19180  Ringcrg 19226  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632   Mat cmat 20944   ScMat cscmat 21026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-mamu 20923  df-mat 20945  df-dmat 21027  df-scmat 21028
This theorem is referenced by:  scmatrhm  21072
  Copyright terms: Public domain W3C validator