Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatid 20301
 Description: The identity matrix is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatid ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatid
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21matring 20230 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
3 scmatid.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2620 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
53, 4ringidcl 18549 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
62, 5syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
71matsca2 20207 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
87eqcomd 2626 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
98fveq2d 6182 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r𝑅))
10 eqid 2620 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2620 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1210, 11ringidcl 18549 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1312adantl 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
149, 13eqeltrd 2699 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
15 oveq1 6642 . . . . 5 (𝑐 = (1r‘(Scalar‘𝐴)) → (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
1615eqeq2d 2630 . . . 4 (𝑐 = (1r‘(Scalar‘𝐴)) → ((1r𝐴) = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ (1r𝐴) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
1716adantl 482 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐 = (1r‘(Scalar‘𝐴))) → ((1r𝐴) = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ (1r𝐴) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
181matlmod 20216 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
19 eqid 2620 . . . . . 6 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
20 eqid 2620 . . . . . 6 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
21 eqid 2620 . . . . . 6 (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
223, 19, 20, 21lmodvs1 18872 . . . . 5 ((𝐴 ∈ LMod ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (1r𝐴))
2318, 6, 22syl2anc 692 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (1r𝐴))
2423eqcomd 2626 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
2514, 17, 24rspcedvd 3312 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(1r𝐴) = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
26 scmatid.s . . 3 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
2710, 1, 3, 4, 20, 26scmatel 20292 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r𝐴) ∈ 𝑆 ↔ ((1r𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(1r𝐴) = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
286, 25, 27mpbir2and 956 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∃wrex 2910  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  Basecbs 15838  Scalarcsca 15925   ·𝑠 cvsca 15926  0gc0g 16081  1rcur 18482  Ringcrg 18528  LModclmod 18844   Mat cmat 20194   ScMat cscmat 20276 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-ot 4177  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-sup 8333  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-hom 15947  df-cco 15948  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-prds 16089  df-pws 16091  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-ghm 17639  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-dsmm 20057  df-frlm 20072  df-mamu 20171  df-mat 20195  df-scmat 20278 This theorem is referenced by:  scmatsgrp  20306  scmatsrng  20307  scmatsgrp1  20309  scmatsrng1  20310  scmatlss  20312  scmatf  20316  scmatghm  20320
 Copyright terms: Public domain W3C validator