MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatlss 20379
Description: The set of scalar matrices is a linear subspace of the matrix algebra. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatlss.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatlss.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatlss ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝐴))

Proof of Theorem scmatlss
Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 𝑚 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatlss.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21matsca2 20274 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
3 eqidd 2652 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4 eqidd 2652 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴))
5 eqidd 2652 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g𝐴) = (+g𝐴))
6 eqidd 2652 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴))
7 eqidd 2652 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (LSubSp‘𝐴) = (LSubSp‘𝐴))
8 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
10 eqid 2651 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
11 eqid 2651 . . . 4 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
12 scmatlss.s . . . 4 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
138, 1, 9, 10, 11, 12scmatval 20358 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))})
14 ssrab2 3720 . . 3 {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))} ⊆ (Base‘𝐴)
1513, 14syl6eqss 3688 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐴))
16 eqid 2651 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
171, 9, 8, 16, 12scmatid 20368 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝑆)
18 ne0i 3954 . . 3 ((1r𝐴) ∈ 𝑆𝑆 ≠ ∅)
1917, 18syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ≠ ∅)
208, 1, 12, 11smatvscl 20378 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥𝑆)) → (𝑎( ·𝑠𝐴)𝑥) ∈ 𝑆)
21203adantr3 1242 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑎( ·𝑠𝐴)𝑥) ∈ 𝑆)
22 simpr3 1089 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
2321, 22jca 553 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠𝐴)𝑥) ∈ 𝑆𝑦𝑆))
241, 9, 8, 16, 12scmataddcl 20370 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑎( ·𝑠𝐴)𝑥) ∈ 𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠𝐴)𝑥)(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
2523, 24syldan 486 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠𝐴)𝑥)(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
262, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 19, 25islssd 18984 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  {crab 2945  c0 3948  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  Basecbs 15904  +gcplusg 15988   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  1rcur 18547  Ringcrg 18593  LSubSpclss 18980   Mat cmat 20261   ScMat cscmat 20343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-mamu 20238  df-mat 20262  df-scmat 20345
This theorem is referenced by:  scmatghm  20387
  Copyright terms: Public domain W3C validator