MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatscm 20238
Description: The multiplication of a matrix with a scalar matrix corresponds to a scalar multiplication. (Contributed by AV, 28-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscm.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatscm.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatscm.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatscm.t = ( ·𝑠𝐴)
scmatscm.m × = (.r𝐴)
scmatscm.c 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatscm (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐶,𝑐,𝑚   𝐾,𝑐,𝑚   𝑁,𝑐,𝑚   𝑅,𝑐,𝑚   𝑆,𝑐,𝑚   ,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑚,𝑐)   × (𝑚,𝑐)   (𝑐)

Proof of Theorem scmatscm
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatscm.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 scmatscm.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatscm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2621 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 scmatscm.t . . . 4 = ( ·𝑠𝐴)
6 scmatscm.c . . . 4 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 20231 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)))
873expa 1262 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)))
9 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → (𝐶 × 𝑚) = ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚))
10 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
1110ad4antr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
12 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1312adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
142matring 20168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
153, 4ringidcl 18489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1817anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → ((1r𝐴) ∈ 𝐵𝑐𝐾))
1918ancomd 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵))
201, 2, 3, 5matvscl 20156 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵)
2113, 19, 20syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵)
2221anim1i 591 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵))
24 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
25 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
26 scmatscm.m . . . . . . . . . . . 12 × = (.r𝐴)
272, 3, 25, 26matmulcell 20170 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))))
2811, 23, 24, 27syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))))
2912anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐𝐾))
30 df-3an 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐𝐾))
3129, 30sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾))
3231ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾))
33 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝑅) = (0g𝑅)
342, 1, 5, 33matsc 20175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐 (1r𝐴)) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅))))
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑐 (1r𝐴)) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅))))
36 eqeq12 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑘) → (𝑥 = 𝑦𝑖 = 𝑘))
3736ifbid 4080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑘) → if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅)) = if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)))
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑘)) → if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅)) = if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)))
39 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑖𝑁)
42 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
43 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑐 ∈ V
44 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝑅) ∈ V
4543, 44ifex 4128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)) ∈ V
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)) ∈ V)
4735, 38, 41, 42, 46ovmpt2d 6741 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘) = if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)))
4847oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
4948mpteq2dva 4704 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))))
5049oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))))
51 ovif 6690 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
52 simp-6r 810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
53 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑗𝑁)
54 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → 𝑚𝐵)
5554ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑚𝐵)
562, 1, 3, 42, 53, 55matecld 20151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑚𝑗) ∈ 𝐾)
571, 25, 33ringlz 18508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑚𝑗) ∈ 𝐾) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (0g𝑅))
5852, 56, 57syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (0g𝑅))
5958ifeq2d 4077 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))) = if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
6051, 59syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
6160mpteq2dva 4704 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅))))
6261oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))))
63 ringmnd 18477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Mnd)
6564ad4antr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Mnd)
66 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
6766ad4antr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
68 equcom 1942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘𝑘 = 𝑖)
69 ifbi 4079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = 𝑘𝑘 = 𝑖) → if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)) = if(𝑘 = 𝑖, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)) = if(𝑘 = 𝑖, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅))
7170mpteq2i 4701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅))) = (𝑘𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑖, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
721eleq2i 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐𝐾𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
7372biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐𝐾𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
7473adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
7574ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
76 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
772, 76, 3, 42, 53, 55matecld 20151 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑚𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
7876, 25ringcl 18482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑘𝑚𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
7952, 75, 77, 78syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
8079ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ∀𝑘𝑁 (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
8133, 65, 67, 40, 71, 80gsummpt1n0 18285 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))) = 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
8250, 62, 813eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))) = 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
83 csbov2g 6644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗)))
84 csbov1g 6643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗) = (𝑖 / 𝑘𝑘𝑚𝑗))
85 csbvarg 3975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘𝑘 = 𝑖)
8685oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑁 → (𝑖 / 𝑘𝑘𝑚𝑗) = (𝑖𝑚𝑗))
8784, 86eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗) = (𝑖𝑚𝑗))
8887oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝑁 → (𝑐(.r𝑅)𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
8983, 88eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9089adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9190adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9228, 82, 913eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
93 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑐𝐾)
9493anim1i 591 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑐𝐾𝑚𝐵))
9594adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑐𝐾𝑚𝐵))
962, 3, 1, 5, 25matvscacell 20161 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑐𝐾𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9711, 95, 24, 96syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9892, 97eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗))
9998ralrimivva 2965 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗))
10014ad3antrrr 765 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
10121adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵)
1023, 26ringcl 18482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) ∈ 𝐵)
103100, 101, 54, 102syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) ∈ 𝐵)
10412ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1051, 2, 3, 5matvscl 20156 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐𝐾𝑚𝐵)) → (𝑐 𝑚) ∈ 𝐵)
106104, 94, 105syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑐 𝑚) ∈ 𝐵)
1072, 3eqmat 20149 . . . . . . . 8 ((((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) ∈ 𝐵 ∧ (𝑐 𝑚) ∈ 𝐵) → (((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) = (𝑐 𝑚) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗)))
108103, 106, 107syl2anc 692 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) = (𝑐 𝑚) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗)))
10999, 108mpbird 247 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
1109, 109sylan9eqr 2677 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
111110ex 450 . . . 4 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚)))
112111ralrimdva 2963 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → ∀𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚)))
113112reximdva 3011 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → (∃𝑐𝐾 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → ∃𝑐𝐾𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚)))
1148, 113mpd 15 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  csb 3514  ifcif 4058  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  Fincfn 7899  Basecbs 15781  .rcmulr 15863   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021   Σg cgsu 16022  Mndcmnd 17215  1rcur 18422  Ringcrg 18468   Mat cmat 20132   ScMat cscmat 20214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-dsmm 19995  df-frlm 20010  df-mamu 20109  df-mat 20133  df-scmat 20216
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator