MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatsgrp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatsgrp1 20451
Description: The set of scalar matrices is a subgroup of the group/ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatsgrp1.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
scmatsgrp1.c 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
Assertion
Ref Expression
scmatsgrp1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))

Proof of Theorem scmatsgrp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 scmatid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 scmatid.e . . . . 5 𝐸 = (Base‘𝑅)
4 scmatid.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 scmatid.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
6 scmatsgrp1.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 20444 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥𝑆𝑥𝐷))
87ssrdv 3715 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆𝐷)
91, 2, 4, 6dmatsgrp 20428 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
109ancoms 468 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
11 scmatsgrp1.c . . . . . 6 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
1211subgbas 17720 . . . . 5 (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) → 𝐷 = (Base‘𝐶))
1312eqcomd 2730 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
1410, 13syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
158, 14sseqtr4d 3748 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
161, 2, 3, 4, 5scmatid 20443 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝑆)
17 ne0i 4029 . . 3 ((1r𝐴) ∈ 𝑆𝑆 ≠ ∅)
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ≠ ∅)
1910adantr 472 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
207com12 32 . . . . . . 7 (𝑥𝑆 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑥𝐷))
2120adantr 472 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑥𝐷))
2221impcom 445 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥𝐷)
231, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 20444 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦𝑆𝑦𝐷))
2423a1d 25 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥𝑆 → (𝑦𝑆𝑦𝐷)))
2524imp32 448 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝐷)
26 eqid 2724 . . . . . . 7 (-g𝐴) = (-g𝐴)
27 eqid 2724 . . . . . . 7 (-g𝐶) = (-g𝐶)
2826, 11, 27subgsub 17728 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ∧ 𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) = (𝑥(-g𝐶)𝑦))
2928eqcomd 2730 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ∧ 𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥(-g𝐶)𝑦) = (𝑥(-g𝐴)𝑦))
3019, 22, 25, 29syl3anc 1439 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(-g𝐶)𝑦) = (𝑥(-g𝐴)𝑦))
311, 2, 3, 4, 5scmatsubcl 20446 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
3230, 31eqeltrd 2803 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
3332ralrimivva 3073 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
341, 2, 4, 6dmatsrng 20430 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
3534ancoms 468 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
3611subrgring 18906 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
3735, 36syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
38 ringgrp 18673 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
39 eqid 2724 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4039, 27issubg4 17735 . . 3 (𝐶 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
4137, 38, 403syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
4215, 18, 33, 41mpbir3and 1382 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  wss 3680  c0 4023  cfv 6001  (class class class)co 6765  Fincfn 8072  Basecbs 15980  s cress 15981  0gc0g 16223  Grpcgrp 17544  -gcsg 17546  SubGrpcsubg 17710  1rcur 18622  Ringcrg 18668  SubRingcsubrg 18899   Mat cmat 20336   DMat cdmat 20417   ScMat cscmat 20418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-ot 4294  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-sup 8464  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-hash 13233  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-hom 16089  df-cco 16090  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-prds 16231  df-pws 16233  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-mhm 17457  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-mulg 17663  df-subg 17713  df-ghm 17780  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-abl 18317  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-subrg 18901  df-lmod 18988  df-lss 19056  df-sra 19295  df-rgmod 19296  df-dsmm 20199  df-frlm 20214  df-mamu 20313  df-mat 20337  df-dmat 20419  df-scmat 20420
This theorem is referenced by:  scmatsrng1  20452
  Copyright terms: Public domain W3C validator