MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdom1 8104
Description: A set has less than one member iff it is empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
sdom1 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sdom1
StepHypRef Expression
1 domnsym 8030 . . . . 5 (1𝑜𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 1𝑜)
21con2i 134 . . . 4 (𝐴 ≺ 1𝑜 → ¬ 1𝑜𝐴)
3 0sdom1dom 8102 . . . 4 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜𝐴)
42, 3sylnibr 319 . . 3 (𝐴 ≺ 1𝑜 → ¬ ∅ ≺ 𝐴)
5 relsdom 7906 . . . . 5 Rel ≺
65brrelexi 5118 . . . 4 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 ∈ V)
7 0sdomg 8033 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
87necon2bbid 2833 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
96, 8syl 17 . . 3 (𝐴 ≺ 1𝑜 → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
104, 9mpbird 247 . 2 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 = ∅)
11 1n0 7520 . . . 4 1𝑜 ≠ ∅
12 1on 7512 . . . . . 6 1𝑜 ∈ On
1312elexi 3199 . . . . 5 1𝑜 ∈ V
14130sdom 8035 . . . 4 (∅ ≺ 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≠ ∅)
1511, 14mpbir 221 . . 3 ∅ ≺ 1𝑜
16 breq1 4616 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 1𝑜 ↔ ∅ ≺ 1𝑜))
1715, 16mpbiri 248 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 1𝑜)
1810, 17impbii 199 1 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  c0 3891   class class class wbr 4613  Oncon0 5682  1𝑜c1o 7498  cdom 7897  csdm 7898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902
This theorem is referenced by:  modom  8105  frgpcyg  19841
  Copyright terms: Public domain W3C validator