MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomdif 7970
Description: The difference of a set from a smaller set cannot be empty. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
sdomdif (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomdif
StepHypRef Expression
1 relsdom 7825 . . . . . 6 Rel ≺
21brrelexi 5072 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 ssdif0 3895 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴) = ∅)
4 ssdomg 7864 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
5 domnsym 7948 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
64, 5syl6 34 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵))
73, 6syl5bir 231 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ((𝐵𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴𝐵))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝐴𝐵 → ((𝐵𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴𝐵))
98con2d 127 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ¬ (𝐵𝐴) = ∅))
109pm2.43i 49 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ (𝐵𝐴) = ∅)
1110neqned 2788 1 (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  cdif 3536  wss 3539  c0 3873   class class class wbr 4577  cdom 7816  csdm 7817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821
This theorem is referenced by:  domtriomlem  9124  konigthlem  9246  odcau  17788
  Copyright terms: Public domain W3C validator