MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomdif 8275
Description: The difference of a set from a smaller set cannot be empty. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
sdomdif (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomdif
StepHypRef Expression
1 relsdom 8130 . . . . . 6 Rel ≺
21brrelexi 5315 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 ssdif0 4085 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴) = ∅)
4 ssdomg 8169 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
5 domnsym 8253 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
64, 5syl6 35 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵))
73, 6syl5bir 233 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ((𝐵𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴𝐵))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝐴𝐵 → ((𝐵𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴𝐵))
98con2d 129 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ¬ (𝐵𝐴) = ∅))
109pm2.43i 52 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ (𝐵𝐴) = ∅)
1110neqned 2939 1 (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  cdom 8121  csdm 8122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126
This theorem is referenced by:  domtriomlem  9476  konigthlem  9602  odcau  18239
  Copyright terms: Public domain W3C validator