MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomdomtr 8037
Description: Transitivity of strict dominance and dominance. Theorem 22(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sdomdomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtr
StepHypRef Expression
1 sdomdom 7927 . . 3 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 domtr 7953 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan 488 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
4 simpl 473 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐵)
5 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
6 ensym 7949 . . . . . 6 (𝐴𝐶𝐶𝐴)
7 domentr 7959 . . . . . 6 ((𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵𝐴)
85, 6, 7syl2an 494 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐵𝐴)
9 domnsym 8030 . . . . 5 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → ¬ 𝐴𝐵)
1110ex 450 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → (𝐴𝐶 → ¬ 𝐴𝐵))
124, 11mt2d 131 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → ¬ 𝐴𝐶)
13 brsdom 7922 . 2 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴𝐶))
143, 12, 13sylanbrc 697 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   class class class wbr 4613  cen 7896  cdom 7897  csdm 7898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902
This theorem is referenced by:  sdomentr  8038  sucdom  8101  infsdomnn  8165  fodomfib  8184  marypha1lem  8283  r1sdom  8581  infxpenlem  8780  infunsdom1  8979  fin56  9159  fodomb  9292  pwcfsdom  9349  cfpwsdom  9350  canthp1lem2  9419  gchpwdom  9436  gchhar  9445  gchina  9465  tsksdom  9522  tskpr  9536  tskcard  9547  gruina  9584  lindsenlbs  33036
  Copyright terms: Public domain W3C validator