MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomel 8104
Description: Strict dominance implies ordinal membership. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
sdomel ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem sdomel
StepHypRef Expression
1 ssdomg 7998 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
21adantl 482 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
3 ontri1 5755 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
4 domtriord 8103 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
52, 3, 43imtr3d 282 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
65con4d 114 . 2 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
76ancoms 469 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  wcel 1989  wss 3572   class class class wbr 4651  Oncon0 5721  cdom 7950  csdm 7951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-ord 5724  df-on 5725  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955
This theorem is referenced by:  findcard3  8200  harval2  8820  alephsuc2  8900  inawinalem  9508
  Copyright terms: Public domain W3C validator