MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomsdomcardi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomsdomcardi 9388
Description: A set strictly dominates if its cardinal strictly dominates. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
sdomsdomcardi (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem sdomsdomcardi
StepHypRef Expression
1 sdom0 8637 . . . . 5 ¬ 𝐴 ≺ ∅
2 ndmfv 6693 . . . . . 6 𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) = ∅)
32breq2d 5069 . . . . 5 𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≺ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ ∅))
41, 3mtbiri 328 . . . 4 𝐵 ∈ dom card → ¬ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
54con4i 114 . . 3 (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
6 cardid2 9370 . . 3 (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
75, 6syl 17 . 2 (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
8 sdomentr 8639 . 2 ((𝐴 ≺ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ≈ 𝐵) → 𝐴𝐵)
97, 8mpdan 683 1 (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2105  c0 4288   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  cfv 6348  cen 8494  csdm 8496  cardccrd 9352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-card 9356
This theorem is referenced by:  sdomsdomcard  9970
  Copyright terms: Public domain W3C validator