Theorem seglecgr12im 33571

Description: Substitution law for segment comparison under congruence. Theorem 5.6 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seglecgr12im	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩) → ⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩))

Proof of Theorem seglecgr12im

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrl 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩))) → 𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩)
2		simprlr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩))) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)
3		simpl11 1244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simpl21 1247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		simpl22 1248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		simpl32 1251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		simpl33 1252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		cgrxfr 33516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) → ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝑧, 𝐻⟩⟩)))
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	syl132anc 1384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) → ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝑧, 𝐻⟩⟩)))
11	10	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩))) → ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) → ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝑧, 𝐻⟩⟩)))
12	1, 2, 11	mp2and 697	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩))) → ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝑧, 𝐻⟩⟩))
13		anass 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))))
14		simpl11 1244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		simpl21 1247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		simpl22 1248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
18		simpl32 1251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
19		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))
20		simpl33 1252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))
21		brcgr3 33507	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝑧, 𝐻⟩⟩ ↔ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑧, 𝐻⟩)))
22	14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	syl133anc 1389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝑧, 𝐻⟩⟩ ↔ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑧, 𝐻⟩)))
23	22	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩))) → (⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝑧, 𝐻⟩⟩ ↔ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑧, 𝐻⟩)))
24		df-3an 1085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑧, 𝐻⟩)) ↔ (((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩)) ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑧, 𝐻⟩)))
25		simpl23 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
26		simpl31 1250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
27		simpl12 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
28		simpl13 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
29		simpr1l 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑧, 𝐻⟩))) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
30		simpr2r 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑧, 𝐻⟩))) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩)
31	14, 27, 28, 25, 26, 15, 16, 29, 30	cgrtr4and 33447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑧, 𝐻⟩))) → ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩)
32		simpr31 1259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑧, 𝐻⟩))) → ⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩)
33	14, 25, 26, 15, 16, 18, 19, 31, 32	cgrtrand 33454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑧, 𝐻⟩))) → ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩)
34	24, 33	sylan2br 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩)) ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑧, 𝐻⟩))) → ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩)
35	34	expr 459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩))) → ((⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑧, 𝐻⟩) → ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩))
36	23, 35	sylbid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩))) → (⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝑧, 𝐻⟩⟩ → ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩))
37	36	anim2d 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩))) → ((𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝑧, 𝐻⟩⟩) → (𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩)))
38	13, 37	sylanb 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩))) → ((𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝑧, 𝐻⟩⟩) → (𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩)))
39	38	an32s 650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝑧, 𝐻⟩⟩) → (𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩)))
40	39	reximdva 3274	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩))) → (∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝑧, 𝐻⟩⟩) → ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩)))
41	12, 40	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩))) → ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩))
42	41	expr 459	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) → ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩)))
43	42	an32s 650	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) → ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩)))
44	43	rexlimdva 3284	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → (∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) → ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩)))
45		simp11 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
46		simp12 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
47		simp13 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
48		simp21 1202	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
49		simp22 1203	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
50		brsegle 33569	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩)))
51	45, 46, 47, 48, 49, 50	syl122anc 1375	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩)))
52	51	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩)))
53		simp23 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
54		simp31 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
55		simp32 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
56		simp33 1207	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))
57		brsegle 33569	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩ ↔ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩)))
58	45, 53, 54, 55, 56, 57	syl122anc 1375	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩ ↔ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩)))
59	58	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → (⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩ ↔ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝑧⟩)))
60	44, 52, 59	3imtr4d 296	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ → ⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩))
61	60	exp32 423	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ → (⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ → ⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩))))
62	61	3impd 1344	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩) → ⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139  ⟨cop 4572   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  ℕcn 11637  𝔼cee 26673   Btwn cbtwn 26674  Cgrccgr 26675  Cgr3ccgr3 33497   Seg_≤ csegle 33567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-sum 15042  df-ee 26676  df-btwn 26677  df-cgr 26678  df-ofs 33444  df-cgr3 33502  df-segle 33568

This theorem is referenced by:  seglecgr12  33572