Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seq1 12854
 Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seq1 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))

Proof of Theorem seq1
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqeq1 12844 . . . 4 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → seq𝑀( + , 𝐹) = seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹))
2 id 22 . . . 4 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → 𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
31, 2fveq12d 6235 . . 3 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
4 fveq2 6229 . . 3 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝐹𝑀) = (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
53, 4eqeq12d 2666 . 2 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀) ↔ (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
6 0z 11426 . . . 4 0 ∈ ℤ
76elimel 4183 . . 3 if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
8 eqid 2651 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
9 fvex 6239 . . 3 (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
10 eqid 2651 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
1110seqval 12852 . . 3 seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) = ran (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
127, 8, 9, 10, 11uzrdg0i 12798 . 2 (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
135, 12dedth 4172 1 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  ifcif 4119  ⟨cop 4216   ↦ cmpt 4762   ↾ cres 5145  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  ωcom 7107  reccrdg 7550  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  ℤcz 11415  seqcseq 12841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842 This theorem is referenced by:  seq1i  12855  seqcl2  12859  seqfveq2  12863  seqfveq  12865  seqshft2  12867  seqsplit  12874  seq1p  12875  seqcaopr3  12876  seqf1olem2a  12879  seqf1olem2  12881  seqf1o  12882  seqid  12886  seqhomo  12888  seqz  12889  exp1  12906  fac1  13104  bcn2  13146  seqcoll  13286  isumrpcl  14619  clim2prod  14664  prodfn0  14670  prodfrec  14671  ruclem6  15008  sadc0  15223  smup0  15248  seq1st  15331  algr0  15332  eulerthlem2  15534  pcmpt  15643  gsumprval  17328  voliunlem1  23364  volsup  23370  abelthlem6  24235  abelthlem9  24239  leibpi  24714  bposlem5  25058  opsqrlem2  29128  esumfzf  30259  sseqp1  30585  rrvsum  30644  cvmliftlem4  31396  iprodefisumlem  31752  faclimlem1  31755  heiborlem4  33743  fmul01  40130  fmuldfeq  40133  fmul01lt1lem1  40134  stoweidlem3  40538  wallispilem4  40603  wallispi2lem1  40606  wallispi2lem2  40607  stirlinglem7  40615  stirlinglem11  40619  sge0isum  40962
 Copyright terms: Public domain W3C validator