MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqfeq2 13018
Description: Equality of sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqfveq2.1 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
seqfveq2.2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
seqfeq2.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
seqfeq2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem seqfeq2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfveq2.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 11884 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 seqfn 13007 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
5 uzss 11900 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
7 fnssres 6165 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
84, 6, 7syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
9 eluzelz 11889 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
10 seqfn 13007 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ𝐾))
111, 9, 103syl 18 . 2 (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ𝐾))
12 fvres 6368 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑥) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥))
1312adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑥) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥))
141adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
15 seqfveq2.2 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
1615adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
17 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐾))
18 elfzuz 12531 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
19 seqfeq2.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2018, 19sylan2 492 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2120adantlr 753 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2214, 16, 17, 21seqfveq2 13017 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑥))
2313, 22eqtrd 2794 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑥) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑥))
248, 11, 23eqfnfvd 6477 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  cres 5268   Fn wfn 6044  cfv 6049  (class class class)co 6813  1c1 10129   + caddc 10131  cz 11569  cuz 11879  ...cfz 12519  seqcseq 12995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-seq 12996
This theorem is referenced by:  seqid  13040
  Copyright terms: Public domain W3C validator