MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqfeq2 12761
Description: Equality of sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqfveq2.1 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
seqfveq2.2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
seqfeq2.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
seqfeq2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem seqfeq2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfveq2.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 11636 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 seqfn 12750 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
5 uzss 11652 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
7 fnssres 5964 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
84, 6, 7syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
9 eluzelz 11641 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
10 seqfn 12750 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ𝐾))
111, 9, 103syl 18 . 2 (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ𝐾))
12 fvres 6165 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑥) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥))
1312adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑥) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥))
141adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
15 seqfveq2.2 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
1615adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
17 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐾))
18 elfzuz 12277 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
19 seqfeq2.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2018, 19sylan2 491 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2120adantlr 750 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2214, 16, 17, 21seqfveq2 12760 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑥))
2313, 22eqtrd 2660 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑥) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑥))
248, 11, 23eqfnfvd 6271 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wss 3560  cres 5081   Fn wfn 5845  cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882   + caddc 9884  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265  seqcseq 12738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-seq 12739
This theorem is referenced by:  seqid  12783
  Copyright terms: Public domain W3C validator