Theorem seqfeq2 12761

Description: Equality of sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqfveq2.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqfveq2.2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
seqfeq2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
seqfeq2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem seqfeq2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqfveq2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 11636	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		seqfn 12750	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
5		uzss 11652	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7		fnssres 5964	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) Fn (ℤ≥‘𝐾))
8	4, 6, 7	syl2anc 692	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) Fn (ℤ≥‘𝐾))
9		eluzelz 11641	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
10		seqfn 12750	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ≥‘𝐾))
11	1, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ≥‘𝐾))
12		fvres 6165	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑥) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥))
13	12	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑥) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥))
14	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15		seqfveq2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
16	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
17		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
18		elfzuz 12277	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
19		seqfeq2.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
20	18, 19	sylan2 491	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
21	20	adantlr 750	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
22	14, 16, 17, 21	seqfveq2 12760	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑥))
23	13, 22	eqtrd 2660	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑥) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑥))
24	8, 11, 23	eqfnfvd 6271	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ⊆ wss 3560   ↾ cres 5081   Fn wfn 5845  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882   + caddc 9884  ℤcz 11322  ℤ_≥cuz 11631  ...cfz 12265  seqcseq 12738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-seq 12739

This theorem is referenced by:  seqid  12783