MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfeq3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqfeq3 12846
Description: Equality of series under different addition operations which agree on an additively closed subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqfeq3.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
seqfeq3.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seqfeq3.cl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqfeq3.id ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
Assertion
Ref Expression
seqfeq3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀(𝑄, 𝐹))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem seqfeq3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfeq3.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 seqfn 12808 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
4 seqfn 12808 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀(𝑄, 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
51, 4syl 17 . 2 (𝜑 → seq𝑀(𝑄, 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
6 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑎 ∈ (ℤ𝑀))
7 simpll 790 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑎)) → 𝜑)
8 elfzuz 12335 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑎) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
98adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑎)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
10 seqfeq3.f . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
117, 9, 10syl2anc 693 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑎)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
12 seqfeq3.cl . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1312adantlr 751 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
14 seqfeq3.id . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
1514adantlr 751 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
166, 11, 13, 15seqfeq4 12845 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑎) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑎))
173, 5, 16eqfnfvd 6312 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀(𝑄, 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989   Fn wfn 5881  cfv 5886  (class class class)co 6647  cz 11374  cuz 11684  ...cfz 12323  seqcseq 12796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-seq 12797
This theorem is referenced by:  mulgpropd  17578  esumfsupre  30118
  Copyright terms: Public domain W3C validator