Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqp1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqp1i 12757
 Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqp1i.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
seqp1i.2 𝑁𝑍
seqp1i.3 𝐾 = (𝑁 + 1)
seqp1i.4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
seqp1i.5 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
seqp1i (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem seqp1i
StepHypRef Expression
1 seqp1i.3 . . . 4 𝐾 = (𝑁 + 1)
21fveq2i 6151 . . 3 (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))
3 seqp1i.2 . . . . 5 𝑁𝑍
4 seqp1i.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleqtri 2696 . . . 4 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)
6 seqp1 12756 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
75, 6ax-mp 5 . . 3 (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1)))
82, 7eqtri 2643 . 2 (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1)))
9 seqp1i.4 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
101fveq2i 6151 . . . 4 (𝐹𝐾) = (𝐹‘(𝑁 + 1))
11 seqp1i.5 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝐵)
1210, 11syl5eqr 2669 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = 𝐵)
139, 12oveq12d 6622 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐴 + 𝐵))
148, 13syl5eq 2667 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐴 + 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  1c1 9881   + caddc 9883  ℤ≥cuz 11631  seqcseq 12741 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-seq 12742 This theorem is referenced by:  climcndslem2  14507  ege2le3  14745  efgt1p2  14769  efgt1p  14770  ovolunlem1a  23171
 Copyright terms: Public domain W3C validator