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Theorem seqpo 33161
Description: Two ways to say that a sequence respects a partial order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
seqpo ((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) → (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛,𝑠   𝐴,𝑚,𝑛,𝑠   𝑅,𝑚,𝑛,𝑠

Proof of Theorem seqpo
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6150 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑚 + 1) → (𝐹𝑝) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
21breq2d 4630 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝑚 + 1) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝) ↔ (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1))))
32imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑚 + 1) → ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1)))))
4 fveq2 6150 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑞 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑞))
54breq2d 4630 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑞 → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝) ↔ (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞)))
65imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑞 → ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞))))
7 fveq2 6150 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑞 + 1) → (𝐹𝑝) = (𝐹‘(𝑞 + 1)))
87breq2d 4630 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝) ↔ (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
98imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
10 fveq2 6150 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑛 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑛))
1110breq2d 4630 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝) ↔ (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
1211imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑛 → ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛))))
13 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑚 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑚))
14 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑚 → (𝑠 + 1) = (𝑚 + 1))
1514fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑠 + 1)) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
1613, 15breq12d 4631 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑚 → ((𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1))))
1716rspccva 3299 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1)))
1817adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1)))
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1))))
20 peano2nn 10977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
21 elnnuz 11668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘1))
2220, 21sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘1))
23 uztrn 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) ∧ (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘1)) → 𝑞 ∈ (ℤ‘1))
24 elnnuz 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ ℕ ↔ 𝑞 ∈ (ℤ‘1))
2523, 24sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) ∧ (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘1)) → 𝑞 ∈ ℕ)
2625expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘1) → (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → 𝑞 ∈ ℕ))
2722, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → 𝑞 ∈ ℕ))
2827imdistani 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ))
29 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = 𝑞 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑞))
30 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = 𝑞 → (𝑠 + 1) = (𝑞 + 1))
3130fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = 𝑞 → (𝐹‘(𝑠 + 1)) = (𝐹‘(𝑞 + 1)))
3229, 31breq12d 4631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = 𝑞 → ((𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
3332rspccva 3299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))
3433ad2ant2l 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))
3534ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
36 ffvelrn 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:ℕ⟶𝐴𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) ∈ 𝐴)
3736adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚) ∈ 𝐴)
38 ffvelrn 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:ℕ⟶𝐴𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐴)
3938adantrl 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐴)
40 peano2nn 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℕ)
41 ffvelrn 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑞 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)
4240, 41sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:ℕ⟶𝐴𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)
4342adantrl 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)
4437, 39, 433jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴))
45 potr 5012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝐹𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)) → (((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
4645expcomd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝐹𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
4746ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝐹𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
4844, 47syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 Po 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
4948expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
5135, 50mpdd 43 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
5228, 51syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
5352expdimp 453 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
5453anasss 678 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
5554com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
5655a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞)) → (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
573, 6, 9, 12, 19, 56uzind4 11690 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
5857com12 32 . . . . . 6 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
5958ralrimiv 2964 . . . . 5 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛))
6059anassrs 679 . . . 4 ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛))
6160ralrimiva 2965 . . 3 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛))
6261ex 450 . 2 ((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) → (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
63 oveq1 6612 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑠 → (𝑚 + 1) = (𝑠 + 1))
6463fveq2d 6154 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑠 → (ℤ‘(𝑚 + 1)) = (ℤ‘(𝑠 + 1)))
65 fveq2 6150 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑠 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑠))
6665breq1d 4628 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑠 → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) ↔ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛)))
6764, 66raleqbidv 3146 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑠 → (∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))(𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛)))
6867rspcv 3296 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))(𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛)))
6968imdistanri 726 . . . 4 ((∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))(𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ))
70 peano2nn 10977 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℕ)
7170nnzd 11425 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
72 uzid 11646 . . . . . 6 ((𝑠 + 1) ∈ ℤ → (𝑠 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1)))
7371, 72syl 17 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1)))
74 fveq2 6150 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑠 + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑠 + 1)))
7574breq2d 4630 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑠 + 1) → ((𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛) ↔ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))))
7675rspccva 3299 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))(𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛) ∧ (𝑠 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))) → (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
7773, 76sylan2 491 . . . 4 ((∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))(𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
7869, 77syl 17 . . 3 ((∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
7978ralrimiva 2965 . 2 (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) → ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
8062, 79impbid1 215 1 ((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) → (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912   class class class wbr 4618   Po wpo 4998  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882   + caddc 9884  cn 10965  cz 11322  cuz 11631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632
This theorem is referenced by:  incsequz2  33163
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