MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqshft 13619
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqshft.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
seqshft ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))

Proof of Theorem seqshft
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfn 12630 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ𝑀))
21adantr 479 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ𝑀))
3 zsubcl 11252 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
4 seqfn 12630 . . . . 5 ((𝑀𝑁) ∈ ℤ → seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘(𝑀𝑁)))
53, 4syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘(𝑀𝑁)))
6 zcn 11215 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
76adantl 480 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
8 seqex 12620 . . . . 5 seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) ∈ V
98shftfn 13607 . . . 4 ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘(𝑀𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))})
105, 7, 9syl2anc 690 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))})
11 simpr 475 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 shftuz 13603 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} = (ℤ‘((𝑀𝑁) + 𝑁)))
1311, 3, 12syl2anc 690 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} = (ℤ‘((𝑀𝑁) + 𝑁)))
14 zcn 11215 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
15 npcan 10141 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
1614, 6, 15syl2an 492 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
1716fveq2d 6092 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (ℤ‘((𝑀𝑁) + 𝑁)) = (ℤ𝑀))
1813, 17eqtrd 2643 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} = (ℤ𝑀))
1918fneq2d 5882 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} ↔ (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ𝑀)))
2010, 19mpbid 220 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ𝑀))
21 negsub 10180 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
2214, 6, 21syl2an 492 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
2322adantr 479 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
2423seqeq1d 12624 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹) = seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹))
25 eluzelcn 11531 . . . . 5 (𝑧 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑧 ∈ ℂ)
26 negsub 10180 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧𝑁))
2725, 7, 26syl2anr 493 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧𝑁))
2824, 27fveq12d 6094 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧𝑁)))
29 simpr 475 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ𝑀))
30 znegcl 11245 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
3130ad2antlr 758 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → -𝑁 ∈ ℤ)
32 elfzelz 12168 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℤ)
3332zcnd 11315 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℂ)
34 seqshft.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 ∈ V
3534shftval 13608 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
36 negsub 10180 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦𝑁))
3736ancoms 467 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦𝑁))
3837fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
3935, 38eqtr4d 2646 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
406, 33, 39syl2an 492 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
4140ralrimiva 2948 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
4241ad2antlr 758 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
4342r19.21bi 2915 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
4429, 31, 43seqshft2 12644 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)))
458shftval 13608 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧𝑁)))
467, 25, 45syl2an 492 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧𝑁)))
4728, 44, 463eqtr4d 2653 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧))
482, 20, 47eqfnfvd 6207 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  {crab 2899  Vcvv 3172   Fn wfn 5785  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790   + caddc 9795  cmin 10117  -cneg 10118  cz 11210  cuz 11519  ...cfz 12152  seqcseq 12618   shift cshi 13600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-seq 12619  df-shft 13601
This theorem is referenced by:  isershft  14188  cvgrat  14400  eftlub  14624  dvradcnv2  37364  binomcxplemnotnn0  37373
  Copyright terms: Public domain W3C validator