Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sermono Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sermono 12773
 Description: The partial sums in an infinite series of positive terms form a monotonic sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sermono.1 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
sermono.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
sermono.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
sermono.4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
sermono (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem sermono
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sermono.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
2 elfzuz 12280 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝐾))
3 sermono.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
4 uztrn 11648 . . . 4 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
52, 3, 4syl2anr 495 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 elfzuz3 12281 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
76adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
8 fzss2 12323 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑘) → (𝑀...𝑘) ⊆ (𝑀...𝑁))
97, 8syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → (𝑀...𝑘) ⊆ (𝑀...𝑁))
109sselda 3583 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
11 sermono.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1211adantlr 750 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1310, 12syldan 487 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
14 readdcl 9963 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
1514adantl 482 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
165, 13, 15seqcl 12761 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
17 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)))
183adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
19 eluzelz 11641 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
211adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
22 eluzelz 11641 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 peano2zm 11364 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
26 elfzelz 12284 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
2726adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
28 1zzd 11352 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
29 fzaddel 12317 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
3020, 25, 27, 28, 29syl22anc 1324 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
3117, 30mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
32 zcn 11326 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
33 ax-1cn 9938 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
34 npcan 10234 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3532, 33, 34sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3623, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3736oveq2d 6620 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐾 + 1)...𝑁))
3831, 37eleqtrd 2700 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
39 sermono.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
4039ralrimiva 2960 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹𝑥))
4140adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹𝑥))
42 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
4342breq2d 4625 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
4443rspcv 3291 . . . . 5 ((𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → (∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹𝑥) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
4538, 41, 44sylc 65 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
46 fzelp1 12335 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
4746adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
4836oveq2d 6620 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐾...𝑁))
4947, 48eleqtrd 2700 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁))
5049, 16syldan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
51 fzss1 12322 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
5218, 51syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
53 fzp1elp1 12336 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
5453adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
5554, 48eleqtrd 2700 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...𝑁))
5652, 55sseldd 3584 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
5711ralrimiva 2960 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5857adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5942eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
6059rspcv 3291 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
6156, 58, 60sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6250, 61addge01d 10559 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
6345, 62mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6449, 5syldan 487 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
65 seqp1 12756 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6664, 65syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6763, 66breqtrrd 4641 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
681, 16, 67monoord 12771 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   ≤ cle 10019   − cmin 10210  ℤcz 11321  ℤ≥cuz 11631  ...cfz 12268  seqcseq 12741 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742 This theorem is referenced by:  cvgcmp  14475  isumsup2  14503  climcnds  14508  ovolunlem1a  23171  mblfinlem2  33076
 Copyright terms: Public domain W3C validator