MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setchom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setchom 16494
Description: Set of arrows of the category of sets (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcbas.c 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcbas.u (𝜑𝑈𝑉)
setchomfval.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
setchom.x (𝜑𝑋𝑈)
setchom.y (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
setchom (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑌𝑚 𝑋))

Proof of Theorem setchom
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setcbas.c . . 3 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
2 setcbas.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
3 setchomfval.h . . 3 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
41, 2, 3setchomfval 16493 . 2 (𝜑𝐻 = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑦𝑚 𝑥)))
5 simprr 791 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
6 simprl 789 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
75, 6oveq12d 6540 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (𝑦𝑚 𝑥) = (𝑌𝑚 𝑋))
8 setchom.x . 2 (𝜑𝑋𝑈)
9 setchom.y . 2 (𝜑𝑌𝑈)
10 ovex 6550 . . 3 (𝑌𝑚 𝑋) ∈ V
1110a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑌𝑚 𝑋) ∈ V)
124, 7, 8, 9, 11ovmpt2d 6659 1 (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑌𝑚 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3167  cfv 5785  (class class class)co 6522  𝑚 cmap 7716  Hom chom 15720  SetCatcsetc 16489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-dec 11321  df-uz 11515  df-fz 12148  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-hom 15734  df-cco 15735  df-setc 16490
This theorem is referenced by:  elsetchom  16495  resssetc  16506  funcestrcsetclem8  16551  funcsetcestrclem8  16566  funcsetcestrclem9  16567  fthsetcestrc  16569  fullsetcestrc  16570  funcringcsetcALTV2lem8  41832  funcringcsetclem8ALTV  41855
  Copyright terms: Public domain W3C validator