MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setciso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setciso 16510
Description: An isomorphism in the category of sets is a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcmon.u (𝜑𝑈𝑉)
setcmon.x (𝜑𝑋𝑈)
setcmon.y (𝜑𝑌𝑈)
setciso.n 𝐼 = (Iso‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
setciso (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))

Proof of Theorem setciso
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2 eqid 2609 . . . 4 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3 setcmon.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
4 setcmon.c . . . . . 6 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
54setccat 16504 . . . . 5 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
7 setcmon.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑈)
84, 3setcbas 16497 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐶))
97, 8eleqtrd 2689 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
10 setcmon.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑈)
1110, 8eleqtrd 2689 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
12 setciso.n . . . 4 𝐼 = (Iso‘𝐶)
131, 2, 6, 9, 11, 12isoval 16194 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
1413eleq2d 2672 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
151, 2, 6, 9, 11invfun 16193 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
16 funfvbrb 6223 . . . . 5 (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
184, 3, 7, 10, 2setcinv 16509 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = 𝐹)))
19 simpl 471 . . . . 5 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = 𝐹) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
2018, 19syl6bi 241 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
2117, 20sylbid 228 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
22 eqid 2609 . . . 4 𝐹 = 𝐹
234, 3, 7, 10, 2setcinv 16509 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹 ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 = 𝐹)))
24 funrel 5807 . . . . . . 7 (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
2515, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
26 releldm 5266 . . . . . . 7 ((Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
2726ex 448 . . . . . 6 (Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2825, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2923, 28sylbird 248 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 = 𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
3022, 29mpan2i 708 . . 3 (𝜑 → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
3121, 30impbid 200 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
3214, 31bitrd 266 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  ccnv 5027  dom cdm 5028  Rel wrel 5033  Fun wfun 5784  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  Catccat 16094  Invcinv 16174  Isociso 16175  SetCatcsetc 16494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-hom 15739  df-cco 15740  df-cat 16098  df-cid 16099  df-sect 16176  df-inv 16177  df-iso 16178  df-setc 16495
This theorem is referenced by:  yonffthlem  16691
  Copyright terms: Public domain W3C validator