Theorem setinds2f 30928

Description: E induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
setinds2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
setinds2f.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
setinds2f.3	⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
setinds2f	⊢ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem setinds2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbsbc 3406	. . . . 5 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)
2		setinds2f.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		setinds2f.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	sbie 2396	. . . . 5 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
5	1, 4	bitr3i 265	. . . 4 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
6	5	ralbii 2963	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓)
7		setinds2f.3	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑)
8	6, 7	sylbi 206	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → 𝜑)
9	8	setinds 30927	1 ⊢ 𝜑

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195  Ⅎwnf 1699  [wsb 1867  ∀wral 2896  [wsbc 3402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-reg 8380  ax-inf2 8421

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393

This theorem is referenced by:  setinds2  30929