Theorem setscom 16521

Description: Component-setting is commutative when the x-values are different. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setscom.1	⊢ 𝐴 ∈ V
setscom.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
setscom	⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem setscom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescom 5873	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴}))
2	1	uneq1i 4134	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
3	2	uneq1i 4134	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
4		un23 4143	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5	3, 4	eqtri 2844	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
6		setsval 16507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
7	6	ad2ant2r 745	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
8	7	reseq1d 5846	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ↾ (V ∖ {𝐵})))
9		resundir 5862	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵})))
10		setscom.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ V
11		elex 3512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → 𝐶 ∈ V)
12	11	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ V)
13		opelxpi 5586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V))
14	10, 12, 13	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V))
15		opex 5348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ V
16	15	relsn 5671	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩} ↔ ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V))
17	14, 16	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩})
18		dmsnopss 6065	. . . . . . . . 9 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ⊆ {𝐴}
19		disjsn2 4641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
20	19	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
21		disj2 4406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ {𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}))
22	20, 21	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}))
23	18, 22	sstrid 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ⊆ (V ∖ {𝐵}))
24		relssres 5887	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ⊆ (V ∖ {𝐵})) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
25	17, 23, 24	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
26	25	uneq2d 4138	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵}))) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
27	9, 26	syl5eq 2868	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
28	8, 27	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
29	28	uneq1d 4137	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
30		setsval 16507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
31	30	reseq1d 5846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
32	31	ad2ant2rl 747	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
33		resundir 5862	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})))
34		setscom.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
35		elex 3512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑋 → 𝐷 ∈ V)
36	35	ad2antll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ V)
37		opelxpi 5586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V))
38	34, 36, 37	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V))
39		opex 5348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ V
40	39	relsn 5671	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V))
41	38, 40	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩})
42		dmsnopss 6065	. . . . . . . . 9 ⊢ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ {𝐵}
43		ssv 3990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐴} ⊆ V
44		ssv 3990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐵} ⊆ V
45		ssconb 4113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝐴} ⊆ V ∧ {𝐵} ⊆ V) → ({𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (V ∖ {𝐴})))
46	43, 44, 45	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (V ∖ {𝐴}))
47	22, 46	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {𝐵} ⊆ (V ∖ {𝐴}))
48	42, 47	sstrid 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ (V ∖ {𝐴}))
49		relssres 5887	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩} ∧ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ (V ∖ {𝐴})) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = {⟨𝐵, 𝐷⟩})
50	41, 48, 49	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = {⟨𝐵, 𝐷⟩})
51	50	uneq2d 4138	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
52	33, 51	syl5eq 2868	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
53	32, 52	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
54	53	uneq1d 4137	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
55	5, 29, 54	3eqtr4a 2882	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
56		ovex 7183	. . 3 ⊢ (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∈ V
57		simprr 771	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ 𝑋)
58		setsval 16507	. . 3 ⊢ (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∈ V ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
59	56, 57, 58	sylancr 589	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
60		ovex 7183	. . 3 ⊢ (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∈ V
61		simprl 769	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑊)
62		setsval 16507	. . 3 ⊢ (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
63	60, 61, 62	sylancr 589	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
64	55, 59, 63	3eqtr4d 2866	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   ∖ cdif 3932   ∪ cun 3933   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  {csn 4560  ⟨cop 4566   × cxp 5547  dom cdm 5549   ↾ cres 5551  Rel wrel 5554  (class class class)co 7150   sSet csts 16475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-res 5561  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-sets 16484

This theorem is referenced by:  rescabs  17097  mgpress  19244