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Theorem setsid 15842
Description: Value of the structure replacement function at a replaced index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
setsid.e 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
Assertion
Ref Expression
setsid ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))

Proof of Theorem setsid
StepHypRef Expression
1 setsval 15816 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
21fveq2d 6157 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)) = (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})))
3 setsid.e . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4 resexg 5406 . . . . 5 (𝑊𝐴 → (𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V)
54adantr 481 . . . 4 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V)
6 snex 4874 . . . 4 {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V
7 unexg 6919 . . . 4 (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V ∧ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
85, 6, 7sylancl 693 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
93, 8strfvnd 15806 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
10 fvex 6163 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ∈ V
1110snid 4184 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)}
12 fvres 6169 . . . . 5 ((𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)} → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx))
14 resres 5373 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}))
15 incom 3788 . . . . . . . . . . . 12 ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}) = ({(𝐸‘ndx)} ∩ (V ∖ {(𝐸‘ndx)}))
16 disjdif 4017 . . . . . . . . . . . 12 ({(𝐸‘ndx)} ∩ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) = ∅
1715, 16eqtri 2643 . . . . . . . . . . 11 ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
1817reseq2i 5358 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = (𝑊 ↾ ∅)
19 res0 5365 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ↾ ∅) = ∅
2018, 19eqtri 2643 . . . . . . . . 9 (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = ∅
2114, 20eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
2221a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅)
23 elex 3201 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝑉𝐶 ∈ V)
2423adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ V)
25 opelxpi 5113 . . . . . . . . . 10 (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
2610, 24, 25sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
27 opex 4898 . . . . . . . . . 10 ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
2827relsn 5189 . . . . . . . . 9 (Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↔ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
2926, 28sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
30 dmsnopss 5571 . . . . . . . 8 dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)}
31 relssres 5401 . . . . . . . 8 ((Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∧ dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)}) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
3229, 30, 31sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
3322, 32uneq12d 3751 . . . . . 6 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)})) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
34 resundir 5375 . . . . . 6 (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}))
35 un0 3944 . . . . . . 7 ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}
36 uncom 3740 . . . . . . 7 ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
3735, 36eqtr3i 2645 . . . . . 6 {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
3833, 34, 373eqtr4g 2680 . . . . 5 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
3938fveq1d 6155 . . . 4 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
4013, 39syl5eqr 2669 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
4110a1i 11 . . . 4 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘ndx) ∈ V)
42 fvsng 6407 . . . 4 (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
4341, 42sylancom 700 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
4440, 43eqtrd 2655 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
452, 9, 443eqtrrd 2660 1 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  cdif 3556  cun 3557  cin 3558  wss 3559  c0 3896  {csn 4153  cop 4159   × cxp 5077  dom cdm 5079  cres 5081  Rel wrel 5084  cfv 5852  (class class class)co 6610  ndxcnx 15785   sSet csts 15786  Slot cslot 15787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-res 5091  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-slot 15792  df-sets 15794
This theorem is referenced by:  ressbas  15858  oppchomfval  16302  oppccofval  16304  reschom  16418  oduleval  17059  oppgplusfval  17706  mgpplusg  18421  opprmulfval  18553  rmodislmod  18859  srasca  19109  sravsca  19110  sraip  19111  opsrle  19403  zlmsca  19797  zlmvsca  19798  znle  19812  thloc  19971  matmulr  20172  tuslem  21990  setsmstset  22201  tngds  22371  tngtset  22372  ttgval  25668  setsiedg  25841  resvsca  29633  hlhilnvl  36749  cznrng  41264  cznnring  41265
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