Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsidvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsidvald 15810
 Description: Value of the structure replacement function, deduction version. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
setsidvald.e 𝐸 = Slot 𝑁
setsidvald.n 𝑁 ∈ ℕ
setsidvald.s (𝜑𝑆𝑉)
setsidvald.f (𝜑 → Fun 𝑆)
setsidvald.d (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
Assertion
Ref Expression
setsidvald (𝜑𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩))

Proof of Theorem setsidvald
StepHypRef Expression
1 setsidvald.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
2 fvex 6158 . . 3 (𝐸𝑆) ∈ V
3 setsval 15809 . . 3 ((𝑆𝑉 ∧ (𝐸𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}))
41, 2, 3sylancl 693 . 2 (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}))
5 setsidvald.e . . . . . . 7 𝐸 = Slot 𝑁
6 setsidvald.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ
75, 6ndxid 15805 . . . . . 6 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
87, 1strfvnd 15799 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
98opeq2d 4377 . . . 4 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
109sneqd 4160 . . 3 (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
1110uneq2d 3745 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
12 setsidvald.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝑆)
13 setsidvald.d . . 3 (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
14 funresdfunsn 6409 . . 3 ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
1512, 13, 14syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
164, 11, 153eqtrrd 2660 1 (𝜑𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ∖ cdif 3552   ∪ cun 3553  {csn 4148  ⟨cop 4154  dom cdm 5074   ↾ cres 5076  Fun wfun 5841  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℕcn 10964  ndxcnx 15778   sSet csts 15779  Slot cslot 15780 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-nn 10965  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-sets 15787 This theorem is referenced by:  ressval3d  15858
 Copyright terms: Public domain W3C validator