Theorem setsidvald 16062

Description: Value of the structure replacement function, deduction version. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsidvald.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
setsidvald.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
setsidvald.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
setsidvald.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
setsidvald.d	⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
setsidvald	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Proof of Theorem setsidvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsidvald.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		fvex 6350	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) ∈ V
3		setsval 16061	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸‘𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
4	1, 2, 3	sylancl 697	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
5		setsidvald.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
6		setsidvald.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
7	5, 6	ndxid 16056	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
8	7, 1	strfvnd 16049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
9	8	opeq2d 4548	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
10	9	sneqd 4321	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
11	10	uneq2d 3898	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
12		setsidvald.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
13		setsidvald.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
14		funresdfunsn 6607	. . 3 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
15	12, 13, 14	syl2anc 696	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
16	4, 11, 15	3eqtrrd 2787	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  Vcvv 3328   ∖ cdif 3700   ∪ cun 3701  {csn 4309  ⟨cop 4315  dom cdm 5254   ↾ cres 5256  Fun wfun 6031  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  ℕcn 11183  ndxcnx 16027   sSet csts 16028  Slot cslot 16029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-nn 11184  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-sets 16037

This theorem is referenced by:  ressval3d  16110