MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmsds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsmsds 22186
Description: The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
Assertion
Ref Expression
setsmsds (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))

Proof of Theorem setsmsds
StepHypRef Expression
1 setsms.k . . 3 (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
21fveq2d 6154 . 2 (𝜑 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
3 dsid 15979 . . 3 dist = Slot (dist‘ndx)
4 9re 11052 . . . . 5 9 ∈ ℝ
5 1nn 10976 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
6 2nn0 11254 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
7 9nn0 11261 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
8 9lt10 11617 . . . . . 6 9 < 10
95, 6, 7, 8declti 11490 . . . . 5 9 < 12
104, 9gtneii 10094 . . . 4 12 ≠ 9
11 dsndx 15978 . . . . 5 (dist‘ndx) = 12
12 tsetndx 15956 . . . . 5 (TopSet‘ndx) = 9
1311, 12neeq12i 2862 . . . 4 ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ 12 ≠ 9)
1410, 13mpbir 221 . . 3 (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
153, 14setsnid 15831 . 2 (dist‘𝑀) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
162, 15syl6reqr 2679 1 (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wne 2796  cop 4159   × cxp 5077  cres 5081  cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882  2c2 11015  9c9 11022  cdc 11437  ndxcnx 15773   sSet csts 15774  Basecbs 15776  TopSetcts 15863  distcds 15866  MetOpencmopn 19650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-sets 15782  df-tset 15876  df-ds 15880
This theorem is referenced by:  setsxms  22189  setsms  22190  tmslem  22192
  Copyright terms: Public domain W3C validator