MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsstructOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsstructOLD 15880
Description: Obsolete version of setsstruct 15879 as of 14-Nov-2021. (Contributed by AV, 9-Jun-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
setsstructOLD ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) Struct ⟨𝑀, if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)⟩))

Proof of Theorem setsstructOLD
StepHypRef Expression
1 simpr11 1143 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℕ)
2 simpr12 1144 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 eluznn 11743 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
43ex 450 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ))
543ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ))
653ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ))
76com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ))
873ad2ant3 1082 . . . . . . 7 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ))
98imp 445 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝐼 ∈ ℕ)
102, 9ifcld 4122 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ)
11 nnre 11012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
12113ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
13 eluzelre 11683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℝ)
1412, 13anim12i 589 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
15 nnre 11012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
16153ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
18 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑁)
1914, 17, 183jca 1240 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁))
2019ex 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
21203ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
2221com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
23223ad2ant3 1082 . . . . . . 7 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
2423imp 445 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁))
25 lemaxle 12011 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
2624, 25syl 17 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
271, 10, 263jca 1240 . . . 4 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
28 simp1 1059 . . . . . 6 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐺𝑈)
29 simp2 1060 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
3028, 29anim12i 589 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝐺𝑈 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})))
31 pm3.22 465 . . . . . . 7 ((𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉))
32313adant1 1077 . . . . . 6 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉))
3332adantr 481 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉))
34 setsfun0 15875 . . . . 5 (((𝐺𝑈 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
3530, 33, 34syl2anc 692 . . . 4 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
36 3simpa 1056 . . . . . . 7 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑈𝐸𝑉))
3736adantr 481 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝐺𝑈𝐸𝑉))
38 setsdm 15873 . . . . . 6 ((𝐺𝑈𝐸𝑉) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
3937, 38syl 17 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
40 simp3 1061 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))
41 nnz 11384 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
42413ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
43423ad2ant1 1080 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44 simpl3 1064 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝐼 ∈ (ℤ𝑀))
45 ssfzunsn 12372 . . . . . 6 ((dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (dom 𝐺 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4640, 43, 44, 45syl2an23an 1385 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (dom 𝐺 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4739, 46eqsstrd 3631 . . . 4 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4827, 35, 473jca 1240 . . 3 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))))
4948ex 450 . 2 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))))
50 isstruct 15851 . 2 (𝐺 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)))
51 isstruct 15851 . 2 ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) Struct ⟨𝑀, if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)⟩ ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))))
5249, 50, 513imtr4g 285 1 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) Struct ⟨𝑀, if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  cdif 3564  cun 3565  wss 3567  c0 3907  ifcif 4077  {csn 4168  cop 4174   class class class wbr 4644  dom cdm 5104  Fun wfun 5870  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920  cle 10060  cn 11005  cz 11362  cuz 11672  ...cfz 12311   Struct cstr 15834   sSet csts 15836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-sets 15845
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator