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Theorem sfprmdvdsmersenne 40840
Description: If 𝑄 is a safe prime (i.e. 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) for a prime 𝑃) with 𝑄≡7 (mod 8), then 𝑄 divides the 𝑃-th Mersenne number MP. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
sfprmdvdsmersenne ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 mod 8) = 7 ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))

Proof of Theorem sfprmdvdsmersenne
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 olc 399 . . . . . . 7 ((𝑄 mod 8) = 7 → ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7))
2 ovex 6638 . . . . . . . 8 (𝑄 mod 8) ∈ V
3 elprg 4172 . . . . . . . 8 ((𝑄 mod 8) ∈ V → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7)))
42, 3mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑄 mod 8) = 7 → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7)))
51, 4mpbird 247 . . . . . 6 ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7})
6 2lgs 25045 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑄) = 1 ↔ (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7}))
76ad2antlr 762 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /L 𝑄) = 1 ↔ (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7}))
8 2z 11360 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
9 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℙ)
109adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ ℙ)
11 2re 11041 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 ∈ ℝ)
13 2m1e1 11086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 − 1) = 1
1411a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℝ)
15 prmnn 15319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1615nnred 10986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
17 1lt2 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 2)
19 prmgt1 15340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
2014, 16, 18, 19mulgt1d 10911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < (2 · 𝑃))
2113, 20syl5eqbr 4653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → (2 − 1) < (2 · 𝑃))
22 1red 10006 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
23 2nn 11136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℕ)
2524, 15nnmulcld 11019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℕ)
2625nnred 10986 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℝ)
2714, 22, 26ltsubaddd 10574 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → ((2 − 1) < (2 · 𝑃) ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
2821, 27mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 2 < ((2 · 𝑃) + 1))
2928ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 < ((2 · 𝑃) + 1))
30 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → (2 < 𝑄 ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (2 < 𝑄 ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
3229, 31mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 < 𝑄)
3312, 32gtned 10123 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ≠ 2)
34 eldifsn 4292 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ≠ 2))
3510, 33, 34sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
36 lgsqrmodndvds 24991 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑄) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚)))
378, 35, 36sylancr 694 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /L 𝑄) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚)))
38 prmnn 15319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
3938nncnd 10987 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℂ)
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℂ)
41 1cnd 10007 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℂ)
42 2cnd 11044 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℂ)
4315nncnd 10987 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
4442, 43mulcld 10011 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
4640, 41, 45subadd2d 10362 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑄 − 1) = (2 · 𝑃) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄))
47 prmz 15320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
48 peano2zm 11371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑄 ∈ ℤ → (𝑄 − 1) ∈ ℤ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) ∈ ℤ)
5049zcnd 11434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
5243adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
53 2cnne0 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
55 divmul2 10640 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 ↔ (𝑄 − 1) = (2 · 𝑃)))
5651, 52, 54, 55syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 ↔ (𝑄 − 1) = (2 · 𝑃)))
57 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄))
5946, 56, 583bitr4rd 301 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃))
6059biimpa 501 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃)
61 oveq2 6618 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 → (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃))
62 zsqcl 12881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
6362ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
648a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → 2 ∈ ℤ)
65 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → (𝑄 − 1) = (((2 · 𝑃) + 1) − 1))
6665adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑄 − 1) = (((2 · 𝑃) + 1) − 1))
6766oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2))
68 pncan1 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((2 · 𝑃) ∈ ℂ → (((2 · 𝑃) + 1) − 1) = (2 · 𝑃))
6944, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℙ → (((2 · 𝑃) + 1) − 1) = (2 · 𝑃))
7069oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℙ → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑃) / 2))
71 2ne0 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ≠ 0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℙ → 2 ≠ 0)
7343, 42, 72divcan3d 10757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℙ → ((2 · 𝑃) / 2) = 𝑃)
7470, 73eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℙ → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = 𝑃)
7574ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = 𝑃)
7667, 75eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃)
7715nnnn0d 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
7877ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
7976, 78eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
8038nnrpd 11821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℝ+)
8180ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ ℝ+)
8279, 81jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℝ+))
8382ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℝ+))
84 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄))
85 modexp 12946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑚↑2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄))
8663, 64, 83, 84, 85syl211anc 1329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄))
8786ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄)))
8887adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄)))
89 2cnd 11044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑄 ∈ ℙ → 2 ∈ ℂ)
9071a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑄 ∈ ℙ → 2 ≠ 0)
9150, 89, 90divcan2d 10754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑄 ∈ ℙ → (2 · ((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑄 − 1))
9291eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) = (2 · ((𝑄 − 1) / 2)))
9392oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑄 ∈ ℙ → (𝑚↑(𝑄 − 1)) = (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))))
9493ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚↑(𝑄 − 1)) = (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))))
95 zcn 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
9695adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
9779adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
98 2nn0 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 ∈ ℕ0
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ0)
10096, 97, 99expmuld 12958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))) = ((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)))
10194, 100eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑚↑(𝑄 − 1)))
102101oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄))
103102adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄))
104 vfermltl 15437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑄𝑚) → ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄) = 1)
105104ad5ant245 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄) = 1)
106103, 105eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = 1)
107 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑𝑃) mod 𝑄))
108106, 107eqeqan12d 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) ↔ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)))
109 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄))
110109eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → ((2↑𝑃) mod 𝑄) = 1)
11138nnred 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℝ)
112 prmgt1 15340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑄 ∈ ℙ → 1 < 𝑄)
113 1mod 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑄 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑄) → (1 mod 𝑄) = 1)
114111, 112, 113syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑄 ∈ ℙ → (1 mod 𝑄) = 1)
115114eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑄 ∈ ℙ → 1 = (1 mod 𝑄))
116115ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 = (1 mod 𝑄))
117110, 116sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → ((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄))
11838ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 𝑄 ∈ ℕ)
119 zexpcl 12822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
1208, 77, 119sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℙ → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
121120ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
122 1zzd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 1 ∈ ℤ)
123 moddvds 14922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄 ∈ ℕ ∧ (2↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄) ↔ 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
124118, 121, 122, 123syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → (((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄) ↔ 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
125117, 124mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))
126125ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
127126ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
128108, 127sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
129128ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
130129com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
13188, 130syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
132131ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (¬ 𝑄𝑚 → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
133132com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (¬ 𝑄𝑚 → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
134133impd 447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
135134com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
136135ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑚 ∈ ℤ → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
137136com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
13861, 137syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
13960, 138mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
140139rexlimdv 3024 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
14137, 140syld 47 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /L 𝑄) = 1 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
1427, 141sylbird 250 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
1435, 142syl5 34 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 mod 8) = 7 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
144143ex 450 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → ((𝑄 mod 8) = 7 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
145144com23 86 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
146145ex 450 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑄 ∈ ℙ → ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
1471463imp2 1279 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 mod 8) = 7 ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  Vcvv 3189  cdif 3556  {csn 4153  {cpr 4155   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892   < clt 10025  cmin 10217   / cdiv 10635  cn 10971  2c2 11021  7c7 11026  8c8 11027  0cn0 11243  cz 11328  +crp 11783   mod cmo 12615  cexp 12807  cdvds 14914  cprime 15316   /L clgs 24932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-ec 7696  df-qs 7700  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-xnn0 11315  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-ioo 12128  df-ico 12130  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-fac 13008  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-prod 14568  df-dvds 14915  df-gcd 15148  df-prm 15317  df-phi 15402  df-pc 15473  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-prds 16036  df-pws 16038  df-imas 16096  df-qus 16097  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-submnd 17264  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-mulg 17469  df-subg 17519  df-nsg 17520  df-eqg 17521  df-ghm 17586  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-abl 18124  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-srg 18434  df-ring 18477  df-cring 18478  df-oppr 18551  df-dvdsr 18569  df-unit 18570  df-invr 18600  df-dvr 18611  df-rnghom 18643  df-drng 18677  df-field 18678  df-subrg 18706  df-lmod 18793  df-lss 18861  df-lsp 18900  df-sra 19100  df-rgmod 19101  df-lidl 19102  df-rsp 19103  df-2idl 19160  df-nzr 19186  df-rlreg 19211  df-domn 19212  df-idom 19213  df-assa 19240  df-asp 19241  df-ascl 19242  df-psr 19284  df-mvr 19285  df-mpl 19286  df-opsr 19288  df-evls 19434  df-evl 19435  df-psr1 19478  df-vr1 19479  df-ply1 19480  df-coe1 19481  df-evl1 19609  df-cnfld 19675  df-zring 19747  df-zrh 19780  df-zn 19783  df-mdeg 23732  df-deg1 23733  df-mon1 23807  df-uc1p 23808  df-q1p 23809  df-r1p 23810  df-lgs 24933
This theorem is referenced by:  sgprmdvdsmersenne  40841
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