Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0ad2en Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0ad2en 41068
Description: The value of the infinite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
sge0ad2en.1 (𝜑𝐴 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0ad2en (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem sge0ad2en
StepHypRef Expression
1 nfv 1956 . 2 𝑛𝜑
2 0xr 10199 . . . 4 0 ∈ ℝ*
32a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10205 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
6 rge0ssre 12394 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7 sge0ad2en.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (0[,)+∞))
86, 7sseldi 3707 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 2re 11203 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
12 nnnn0 11412 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
1312adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
1411, 13reexpcld 13140 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
15 2cnd 11206 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
16 2ne0 11226 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
1813nn0zd 11593 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
1915, 17, 18expne0d 13129 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ≠ 0)
209, 14, 19redivcld 10966 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
2120rexrd 10202 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
22 2rp 11951 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
2322a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
2423, 18rpexpcld 13147 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
252a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
264a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27 icogelb 12339 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
2825, 26, 7, 27syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2928adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
309, 24, 29divge0d 12026 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / (2↑𝑛)))
3120ltpnfd 12069 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) < +∞)
323, 5, 21, 30, 31elicod 12338 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
33 1zzd 11521 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
34 nnuz 11837 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
358recnd 10181 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
36 eqid 2724 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))
3736geo2lim 14726 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) ⇝ 𝐴)
3835, 37syl 17 . 2 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) ⇝ 𝐴)
391, 32, 33, 34, 38sge0isummpt 41067 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896   class class class wbr 4760  cmpt 4837  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052  +∞cpnf 10184  *cxr 10186  cle 10188   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  +crp 11946  [,)cico 12291  seqcseq 12916  cexp 12975  cli 14335  Σ^csumge0 40999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-pm 7977  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-sumge0 41000
This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  41207  ovolval5lem1  41289
  Copyright terms: Public domain W3C validator