Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0fsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0fsum 39908
Description: The arbitrary sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0fsum.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sge0fsum.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0fsum (𝜑 → (Σ^𝐹) = Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem sge0fsum
Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0fsum.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 sge0fsum.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
32fge0icoicc 39886 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
41, 3sge0xrcl 39906 . 2 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
5 rge0ssre 12222 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
62ffvelrnda 6315 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
75, 6sseldi 3581 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
81, 7fsumrecl 14398 . . 3 (𝜑 → Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
98rexrd 10033 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
101, 2sge0reval 39893 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)), ℝ*, < ))
11 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)))
12 vex 3189 . . . . . . . . 9 𝑤 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → 𝑤 ∈ V)
14 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))
1514elrnmpt 5332 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)))
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)))
1711, 16mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))
18 simp3 1061 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) → 𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))
191adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋 ∈ Fin)
202fge0npnf 39888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
213, 20fge0iccre 39895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
24 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
2523, 24ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
26 0xr 10030 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
28 pnfxr 10036 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
303adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3130ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
32 iccgelb 12172 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
3327, 29, 31, 32syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
34 elinel1 3777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
35 elpwi 4140 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦𝑋)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦𝑋)
3819, 25, 33, 37fsumless 14455 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
39383adant3 1079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) → Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
4018, 39eqbrtrd 4635 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) → 𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
41403exp 1261 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))))
4241rexlimdv 3023 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥)))
4342adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥)))
4417, 43mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → 𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
4544ralrimiva 2960 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
46 elinel2 3778 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
4746adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
4822adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
4937sselda 3583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑋)
5048, 49ffvelrnd 6316 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5147, 50fsumrecl 14398 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5251rexrd 10033 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
5352ralrimiva 2960 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
5414rnmptss 6347 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ∈ ℝ* → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) ⊆ ℝ*)
5553, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) ⊆ ℝ*)
56 supxrleub 12099 . . . . 5 ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥)))
5755, 9, 56syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥)))
5845, 57mpbird 247 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
5910, 58eqbrtrd 4635 . 2 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
60 ssid 3603 . . . 4 𝑋𝑋
6160a1i 11 . . 3 (𝜑𝑋𝑋)
621, 2, 61, 1fsumlesge0 39898 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (Σ^𝐹))
634, 9, 59, 62xrletrid 11930 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ran crn 5075  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  supcsup 8290  cr 9879  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  [,)cico 12119  [,]cicc 12120  Σcsu 14350  Σ^csumge0 39883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-sumge0 39884
This theorem is referenced by:  sge0fsummpt  39911  sge0sup  39912  sge0ltfirp  39921  sge0le  39928  sge0iunmptlemfi  39934  sge0ltfirpmpt2  39947  sge0fsummptf  39957  omeiunltfirp  40037
  Copyright terms: Public domain W3C validator