Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0gerp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0gerp 42554
Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is greater than or equal to a given extended real number if this number can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0gerp.x (𝜑𝑋𝑉)
sge0gerp.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0gerp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
sge0gerp.z ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥))
Assertion
Ref Expression
sge0gerp (𝜑𝐴 ≤ (Σ^𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem sge0gerp
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1906 . . 3 𝑥𝜑
2 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
3 sge0gerp.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
43adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5 elinel1 4169 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)
6 elpwi 4547 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋𝑧𝑋)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧𝑋)
87adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑧𝑋)
94, 8fssresd 6538 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
102, 9sge0xrcl 42544 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
1110ralrimiva 3179 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
12 eqid 2818 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))
1312rnmptss 6878 . . . 4 (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ* → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))) ⊆ ℝ*)
1411, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))) ⊆ ℝ*)
15 sge0gerp.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
16 sge0gerp.z . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥))
17 nfv 1906 . . . . 5 𝑧(𝜑𝑥 ∈ ℝ+)
18 nfmpt1 5155 . . . . . . 7 𝑧(𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))
1918nfrn 5817 . . . . . 6 𝑧ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))
20 nfv 1906 . . . . . 6 𝑧 𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)
2119, 20nfrex 3306 . . . . 5 𝑧𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)
22 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
23 fvexd 6678 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ V)
2412elrnmpt1 5823 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ V) → (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))))
26253ad2ant2 1126 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)) → (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))))
27 simp3 1130 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)) → 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥))
28 nfv 1906 . . . . . . . 8 𝑦 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)
29 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑧)) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥))
3029breq2d 5069 . . . . . . . 8 (𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑧)) → (𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)))
3128, 30rspce 3609 . . . . . . 7 (((Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
3226, 27, 31syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
33323exp 1111 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))))
3417, 21, 33rexlimd 3314 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)))
3516, 34mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
361, 14, 15, 35supxrge 41482 . 2 (𝜑𝐴 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))), ℝ*, < ))
37 sge0gerp.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3837, 3sge0sup 42550 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))), ℝ*, < ))
3938eqcomd 2824 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))), ℝ*, < ) = (Σ^𝐹))
4036, 39breqtrd 5083 1 (𝜑𝐴 ≤ (Σ^𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  𝒫 cpw 4535   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549  cres 5550  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  supcsup 8892  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  +crp 12377   +𝑒 cxad 12493  [,]cicc 12729  Σ^csumge0 42521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-sumge0 42522
This theorem is referenced by:  sge0gerpmpt  42561
  Copyright terms: Public domain W3C validator