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Theorem sge0gtfsumgt 40423
Description: If the generalized sum of nonnegative reals is larger than a given number, then that number can be dominated by a finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0gtfsumgt.k 𝑘𝜑
sge0gtfsumgt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0gtfsumgt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0gtfsumgt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
sge0gtfsumgt.l (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
Assertion
Ref Expression
sge0gtfsumgt (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem sge0gtfsumgt
StepHypRef Expression
1 sge0gtfsumgt.k . . . . 5 𝑘𝜑
2 nfcv 2762 . . . . . . 7 𝑘Σ^
3 nfmpt1 4738 . . . . . . 7 𝑘(𝑘𝐴𝐵)
42, 3nffv 6185 . . . . . 6 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐵))
5 nfcv 2762 . . . . . 6 𝑘
64, 5nfel 2774 . . . . 5 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ
71, 6nfan 1826 . . . 4 𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
8 sge0gtfsumgt.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
10 icossicc 12245 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
11 sge0gtfsumgt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
1210, 11sseldi 3593 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1312adantlr 750 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14 sge0gtfsumgt.l . . . . . 6 (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
1514adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
16 sge0gtfsumgt.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1716adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
18 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
19 difrp 11853 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ↔ ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ+))
2017, 18, 19syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ↔ ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ+))
2115, 20mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ+)
227, 9, 13, 21, 18sge0ltfirpmpt2 40406 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)))
23 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)))
24 nfv 1841 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
251, 24nfan 1826 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26 elinel2 3792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
28 simpll 789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
29 elpwinss 39036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑦𝐴)
31 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑦)
3230, 31sseldd 3596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
3332adantll 749 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
34 rge0ssre 12265 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
3534, 11sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3628, 33, 35syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
3725, 27, 36fsumreclf 39608 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
3837recnd 10053 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
3938ad4ant13 1290 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
4018ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
4140recnd 10053 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
4217ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
4342recnd 10053 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ)
4441, 43subcld 10377 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) ∈ ℂ)
4539, 44addcomd 10223 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) = (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘𝑦 𝐵))
4623, 45breqtrd 4670 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘𝑦 𝐵))
4740, 42resubcld 10443 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ)
4837ad4ant13 1290 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
4940, 47, 48ltsubadd2d 10610 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘𝑦 𝐵)))
5046, 49mpbird 247 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘𝑦 𝐵)
5141, 43nncand 10382 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) = 𝐶)
5251breq1d 4654 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘𝑦 𝐵𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵))
5350, 52mpbid 222 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
5453ex 450 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) → 𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵))
5554reximdva 3014 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵))
5622, 55mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
57 simpl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → 𝜑)
58 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
59 eqid 2620 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
601, 11, 59fmptdf 6373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
6110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
6260, 61fssd 6044 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
638, 62sge0repnf 40366 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞))
6463adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞))
6558, 64mtbid 314 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
66 notnotb 304 . . . 4 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞ ↔ ¬ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
6765, 66sylibr 224 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
684nfeq1 2775 . . . . 5 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞
691, 68nfan 1826 . . . 4 𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
708adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → 𝐴𝑉)
7111adantlr 750 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
72 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
7316adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
7469, 70, 71, 72, 73sge0pnffsumgt 40422 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
7557, 67, 74syl2anc 692 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
7656, 75pm2.61dan 831 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wnf 1706  wcel 1988  wrex 2910  cin 3566  wss 3567  𝒫 cpw 4149   class class class wbr 4644  cmpt 4720  cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921   + caddc 9924  +∞cpnf 10056   < clt 10059  cmin 10251  +crp 11817  [,)cico 12162  [,]cicc 12163  Σcsu 14397  Σ^csumge0 40342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398  df-sumge0 40343
This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  40424  sge0seq  40426
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