Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0iun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0iun 39969
Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0iun.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0iun.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
sge0iun.x 𝑋 = 𝑥𝐴 𝐵
sge0iun.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0iun.dj (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sge0iun (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem sge0iun
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0iun.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0iun.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
3 sge0iun.dj . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
4 sge0iun.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
653adant3 1079 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
7 ssiun2 4534 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
87adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
9 sge0iun.x . . . . . . . 8 𝑋 = 𝑥𝐴 𝐵
109eqcomi 2630 . . . . . . 7 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑋
118, 10syl6sseq 3635 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑋)
12113adant3 1079 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐵𝑋)
13 simp3 1061 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
1412, 13sseldd 3588 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑦𝑋)
156, 14ffvelrnd 6321 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞))
161, 2, 3, 15sge0iunmpt 39968 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝐹𝑦))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))))
179feq2i 5999 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹: 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹: 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞)))
194, 18mpbid 222 . . . 4 (𝜑𝐹: 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
2019feqmptd 6211 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
2120fveq2d 6157 . 2 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))
225, 11fssresd 6033 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
2322feqmptd 6211 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑦)))
24 fvres 6169 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
2524mpteq2ia 4705 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
2723, 26eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
2827fveq2d 6157 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝐹𝐵)) = (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))
2928mpteq2dva 4709 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))))
3029fveq2d 6157 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵)))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))))
3116, 21, 303eqtr4d 2665 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3559   ciun 4490  Disj wdisj 4588  cmpt 4678  cres 5081  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  +∞cpnf 10023  [,]cicc 12128  Σ^csumge0 39912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-ac2 9237  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-acn 8720  df-ac 8891  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-xadd 11899  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-sumge0 39913
This theorem is referenced by:  psmeasurelem  40020
  Copyright terms: Public domain W3C validator