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Theorem sge0iunmptlemre 39965
Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0iunmptlemre.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0iunmptlemre.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
sge0iunmptlemre.dj (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
sge0iunmptlemre.c ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0iunmptlemre.re ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
sge0iunmptlemre.sxr (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
sge0iunmptlemre.ssxr (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ∈ ℝ*)
sge0iunmptlemre.f (𝜑 → (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶): 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
sge0iunmptlemre.iue (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
sge0iunmptlemre (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑊   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sge0iunmptlemre
Dummy variables 𝑏 𝑝 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0iunmptlemre.sxr . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
2 sge0iunmptlemre.ssxr . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ∈ ℝ*)
3 elpwinss 38734 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 𝑥𝐴 𝐵)
43resmptd 5416 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → ((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦) = (𝑘𝑦𝐶))
54fveq2d 6157 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑘𝑦𝐶)))
65adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑘𝑦𝐶)))
7 elinel2 3783 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
87adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
93sselda 3587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘 𝑥𝐴 𝐵)
10 eliun 4495 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
119, 10sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
1211adantll 749 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
13 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝜑
14 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦
15 nfiu1 4521 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 𝑥𝐴 𝐵
1615nfpw 4148 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝒫 𝑥𝐴 𝐵
17 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥Fin
1816, 17nfin 3803 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)
1914, 18nfel 2773 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)
2013, 19nfan 1825 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin))
21 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑘𝑦
2220, 21nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦)
23 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝐶 ∈ (0[,)+∞)
24 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
25 sge0iunmptlemre.c . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
26 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
2726fvmpt2 6253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
2824, 25, 27syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
2928eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 = ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘))
30253expa 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3130, 26fmptd 6346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
32313adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
33 sge0iunmptlemre.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
34333adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐵𝑊)
35 sge0iunmptlemre.re . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
36353adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
3734, 32, 36sge0rern 39938 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → ¬ +∞ ∈ ran (𝑘𝐵𝐶))
3832, 37fge0iccico 39920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,)+∞))
3938, 24ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) ∈ (0[,)+∞))
4029, 39eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
41403exp 1261 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
4241ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → (𝑥𝐴 → (𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
4322, 23, 42rexlimd 3020 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → (∃𝑥𝐴 𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,)+∞)))
4412, 43mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
458, 44sge0fsummpt 39940 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑦𝐶)) = Σ𝑘𝑦 𝐶)
46 sseqin2 3800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑦) = 𝑦)
4746biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 → ( 𝑥𝐴 𝐵𝑦) = 𝑦)
4847eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦 = ( 𝑥𝐴 𝐵𝑦))
49 iunin1 4556 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 (𝐵𝑦) = ( 𝑥𝐴 𝐵𝑦)
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 𝑥𝐴 (𝐵𝑦) = ( 𝑥𝐴 𝐵𝑦))
5148, 50eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦 = 𝑥𝐴 (𝐵𝑦))
523, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 = 𝑥𝐴 (𝐵𝑦))
5352sumeq1d 14373 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → Σ𝑘𝑦 𝐶 = Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝑦)𝐶)
5453adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐶 = Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝑦)𝐶)
55 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → 𝜑)
5633adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
57 sge0iunmptlemre.dj . . . . . . . . . . 11 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
5857adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
59 rge0ssre 12230 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
60 ax-resscn 9945 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
6159, 60sstri 3596 . . . . . . . . . . . 12 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
6261, 40sseldi 3585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
63623adant1r 1316 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
64 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
6556, 58, 63, 64fsumiunss 39239 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝑦)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
6655, 8, 65syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝑦)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
6754, 66eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
686, 45, 673eqtrd 2659 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
6956, 58, 64disjinfi 38885 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ∈ Fin)
70 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin)
71 inss2 3817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ⊆ 𝑦
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ Fin → (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ⊆ 𝑦)
73 ssfi 8132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ⊆ 𝑦) → (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ∈ Fin)
7470, 72, 73syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ Fin → (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ∈ Fin)
7574ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) → (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ∈ Fin)
76 simpll 789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝜑)
77 elrabi 3346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} → 𝑤𝐴)
7877ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝑤𝐴)
79 elinel1 3782 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) → 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
8079adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
81 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑤𝐴
82 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑘
83 nfcsb1v 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑤 / 𝑥𝐵
8482, 83nfel 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵
8513, 81, 84nf3an 1828 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝜑𝑤𝐴𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
8685, 23nfim 1822 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝜑𝑤𝐴𝑘𝑤 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
87 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝐴𝑤𝐴))
88 csbeq1a 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑤𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
8988eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → (𝑘𝐵𝑘𝑤 / 𝑥𝐵))
9087, 893anbi23d 1399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑤𝐴𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)))
9190imbi1d 331 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑤𝐴𝑘𝑤 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
9286, 91, 40chvar 2261 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝐴𝑘𝑤 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9376, 78, 80, 92syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9493adantllr 754 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9575, 94fsumge0cl 39237 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) → Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9669, 95sge0fsummpt 39940 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)) = Σ𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)
97 inss2 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵𝑦) ⊆ 𝑦
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ Fin → (𝐵𝑦) ⊆ 𝑦)
99 ssfi 8132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝐵𝑦) ⊆ 𝑦) → (𝐵𝑦) ∈ Fin)
10070, 98, 99syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ Fin → (𝐵𝑦) ∈ Fin)
101100ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) → (𝐵𝑦) ∈ Fin)
102 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝜑)
103 rabid 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐵𝑦) ≠ ∅))
104103biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} → (𝑥𝐴 ∧ (𝐵𝑦) ≠ ∅))
105104simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} → 𝑥𝐴)
106105ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝑥𝐴)
107 elinel1 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (𝐵𝑦) → 𝑘𝐵)
108107adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝑘𝐵)
109102, 106, 108, 40syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
110109adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
111101, 110sge0fsummpt 39940 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
112111mpteq2dva 4709 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶))
113 nfrab1 3114 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}
114 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}
115 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶
11683, 14nfin 3803 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)
117 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐶
118116, 117nfsum 14363 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶
11988ineq1d 3796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵𝑦) = (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦))
120119sumeq1d 14373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)
121113, 114, 115, 118, 120cbvmptf 4713 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶) = (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶) = (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶))
123112, 122eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶) = (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))))
124123fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
125124eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)))
126120, 114, 113, 115, 118cbvsum 14367 . . . . . . . . . 10 Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶 = Σ𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶
127126a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶 = Σ𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)
12896, 125, 1273eqtr4d 2665 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
12955, 8, 128syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
130129eqcomd 2627 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶 = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
13168, 130eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
132 sge0iunmptlemre.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑉)
13377ssriv 3591 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ⊆ 𝐴
134133a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ⊆ 𝐴)
135132, 134ssexd 4770 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ∈ V)
136 vex 3192 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
137136inex2 4765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ∈ V
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝐴) → (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ∈ V)
139 icossicc 12210 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
140 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝜑)
141 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝑤𝐴)
14279adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
143140, 141, 142, 92syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
144139, 143sseldi 3585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
145 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)
146144, 145fmptd 6346 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝐴) → (𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶):(𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)⟶(0[,]+∞))
147138, 146sge0cl 39931 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝐴) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
14877, 147sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
149 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑤^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))
150 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥Σ^
151116, 117nfmpt 4711 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)
152150, 151nffv 6160 . . . . . . . . . 10 𝑥^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))
153119mpteq1d 4703 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → (𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))
154153fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))
155113, 114, 149, 152, 154cbvmptf 4713 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))
156148, 155fmptd 6346 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))):{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}⟶(0[,]+∞))
157135, 156sge0xrcl 39935 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ*)
158157adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ*)
159 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))
160147, 159fmptd 6346 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
161132, 160sge0xrcl 39935 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ*)
162161adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ*)
16355, 2syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ∈ ℝ*)
164155fveq2i 6156 . . . . . . . . 9 ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))))
165164a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
166132, 147, 134sge0lessmpt 39949 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
167165, 166eqbrtrd 4640 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
168167adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
169149, 152, 154cbvmpt 4714 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))
170169eqcomi 2630 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))
171170fveq2i 6156 . . . . . . . . 9 ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))))
172171a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
173136inex2 4765 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑦) ∈ V
174173a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝑦) ∈ V)
175107, 30sylan2 491 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
176 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)
177175, 176fmptd 6346 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶):(𝐵𝑦)⟶(0[,]+∞))
178174, 177sge0cl 39931 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
17933, 31sge0cl 39931 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
180 inss1 3816 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑦) ⊆ 𝐵
181180a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝑦) ⊆ 𝐵)
18233, 30, 181sge0lessmpt 39949 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
18313, 132, 178, 179, 182sge0lempt 39960 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
184172, 183eqbrtrd 4640 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
185184adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
186158, 162, 163, 168, 185xrletrd 11945 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
187131, 186eqbrtrd 4640 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
188187ralrimiva 2961 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
189 sge0iunmptlemre.iue . . . 4 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
190 sge0iunmptlemre.f . . . 4 (𝜑 → (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶): 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
191189, 190, 2sge0lefi 39948 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))))
192188, 191mpbird 247 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
193 elpwinss 38734 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
194193resmptd 5416 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦) = (𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
195194fveq2d 6157 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
196195adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
197 elinel2 3783 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
198197adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
199 0xr 10038 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
200199a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 0 ∈ ℝ*)
201 pnfxr 10044 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
202201a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → +∞ ∈ ℝ*)
203 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝜑)
204193sselda 3587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
205204adantll 749 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
206203, 205, 33syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵𝑊)
207203, 205, 31syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
208206, 207sge0xrcl 39935 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
209206, 207sge0ge0 39934 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 0 ≤ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
210203, 205, 35syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
211 ltpnf 11906 . . . . . . . . 9 ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) < +∞)
212210, 211syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) < +∞)
213200, 202, 208, 209, 212elicod 12174 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,)+∞))
214198, 213sge0fsummpt 39940 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)))
215196, 214eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)))
216 nfv 1840 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
217189adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
218190mptex2 6345 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
219218adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
220198, 210fsumrecl 14406 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
221220rexrd 10041 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
222 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+)
223 iunss1 4503 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 𝑥𝑦 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
224193, 223syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝑦 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
225224adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝑦 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
226217, 225ssexd 4770 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝑦 𝐵 ∈ V)
227226adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → 𝑥𝑦 𝐵 ∈ V)
228 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 𝑥𝑦 𝐵) → 𝜑)
229225sselda 3587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 𝑥𝑦 𝐵) → 𝑘 𝑥𝐴 𝐵)
230228, 229, 218syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 𝑥𝑦 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
231230adantlr 750 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 𝑥𝑦 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
232 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → 𝑝 ∈ ℝ+)
233193adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
23457adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
235 disjss1 4594 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑥𝑦 𝐵))
236233, 234, 235sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Disj 𝑥𝑦 𝐵)
2372033adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦𝑘𝐵) → 𝜑)
2382053adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦𝑘𝐵) → 𝑥𝐴)
239 simp3 1061 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
240237, 238, 239, 25syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
241198, 206, 236, 240, 210sge0iunmptlemfi 39963 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
242214, 220eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ∈ ℝ)
243241, 242eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
244243adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
245222, 227, 231, 232, 244sge0ltfirpmpt 39958 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝))
246 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑏((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+)
247 nfre1 3000 . . . . . . . 8 𝑏𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝)
248 sspwb 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑥𝑦 𝐵 𝑥𝐴 𝐵 ↔ 𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 𝑥𝐴 𝐵)
249248biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( 𝑥𝑦 𝐵 𝑥𝐴 𝐵 → 𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 𝑥𝐴 𝐵)
250223, 249syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐴 → 𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 𝑥𝐴 𝐵)
251193, 250syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 𝑥𝐴 𝐵)
252251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 𝑥𝐴 𝐵)
253 elinel1 3782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑥𝑦 𝐵)
254253adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑥𝑦 𝐵)
255252, 254sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 𝐵)
256 elinel2 3783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
257256adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ Fin)
258255, 257elind 3781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin))
259258ad4ant24 1295 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin))
2602593adant3 1079 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin))
261221ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
2622613adant3 1079 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
263 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin))
264226adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥𝑦 𝐵 ∈ V)
265230adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 𝑥𝑦 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
266243adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
267253elpwid 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 𝑥𝑦 𝐵)
268267adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 𝑥𝑦 𝐵)
269263, 264, 265, 266, 268sge0ssrempt 39955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) ∈ ℝ)
270269rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) ∈ ℝ*)
271270adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) ∈ ℝ*)
272 rpxr 11792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ*)
273272ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑝 ∈ ℝ*)
274271, 273xaddcld 12082 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) ∈ ℝ*)
2752743adant3 1079 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) ∈ ℝ*)
276 simp3 1061 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝))
277241, 214eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)))
278277adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)))
2792783ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)))
280269adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) ∈ ℝ)
281 rpre 11791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ)
282281ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑝 ∈ ℝ)
283 rexadd 12014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) = ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝))
284280, 282, 283syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) = ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝))
2852843adant3 1079 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) = ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝))
286279, 285breq12d 4631 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → (Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) ↔ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)))
287276, 286mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))
288262, 275, 287xrltled 38981 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))
289 rspe 2998 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) ∧ Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))
290260, 288, 289syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))
2912903exp 1261 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → (𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))))
292246, 247, 291rexlimd 3020 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝)))
293245, 292mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))
294216, 217, 219, 221, 293sge0gerpmpt 39952 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
295215, 294eqbrtrd 4640 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
296295ralrimiva 2961 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
297 eqid 2621 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
298179, 297fmptd 6346 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
299132, 298, 1sge0lefi 39948 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶))))
300296, 299mpbird 247 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
3011, 2, 192, 300xrletrid 11938 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3189  csb 3518  cin 3558  wss 3559  c0 3896  𝒫 cpw 4135   ciun 4490  Disj wdisj 4588   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cres 5081  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888   + caddc 9891  +∞cpnf 10023  *cxr 10025   < clt 10026  cle 10027  +crp 11784   +𝑒 cxad 11896  [,)cico 12127  [,]cicc 12128  Σcsu 14358  Σ^csumge0 39912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-ac2 9237  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-acn 8720  df-ac 8891  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-xadd 11899  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-sumge0 39913
This theorem is referenced by:  sge0iunmpt  39968
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