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Theorem sge0le 39928
Description: If all of the terms of sums compare, so do the sums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0le.x (𝜑𝑋𝑉)
sge0le.F (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0le.g (𝜑𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0le.le ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
sge0le (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0le
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0le.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
2 sge0le.F . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
31, 2sge0xrcl 39906 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
4 pnfge 11908 . . . . 5 ((Σ^𝐹) ∈ ℝ* → (Σ^𝐹) ≤ +∞)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ +∞)
65adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐹) ≤ +∞)
7 id 22 . . . . 5 ((Σ^𝐺) = +∞ → (Σ^𝐺) = +∞)
87eqcomd 2627 . . . 4 ((Σ^𝐺) = +∞ → +∞ = (Σ^𝐺))
98adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐺) = +∞) → +∞ = (Σ^𝐺))
106, 9breqtrd 4639 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
11 elinel2 3778 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
1211adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
132adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
141adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → 𝑋𝑉)
15 sge0le.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → 𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
17 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐹)
182ffnd 6003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
19 fvelrnb 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 Fn 𝑋 → (+∞ ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (+∞ ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞))
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (+∞ ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞))
2217, 21mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞)
23 iccssxr 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2415ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]+∞))
2523, 24sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹𝑥) = +∞ → (𝐹𝑥) = +∞)
2827eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑥) = +∞ → +∞ = (𝐹𝑥))
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ = (𝐹𝑥))
30 sge0le.le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3229, 31eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ ≤ (𝐺𝑥))
3326, 32xrgepnfd 39008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐺𝑥) = +∞)
3433eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ = (𝐺𝑥))
3515ffnd 6003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺 Fn 𝑋)
37 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
38 fnfvelrn 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 Fn 𝑋𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ran 𝐺)
3936, 37, 38syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ran 𝐺)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐺𝑥) ∈ ran 𝐺)
4134, 40eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ ∈ ran 𝐺)
4241ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = +∞ → +∞ ∈ ran 𝐺))
4342adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = +∞ → +∞ ∈ ran 𝐺))
4443rexlimdva 3024 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞ → +∞ ∈ ran 𝐺))
4522, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐺)
4614, 16, 45sge0pnfval 39894 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (Σ^𝐺) = +∞)
4746adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (Σ^𝐺) = +∞)
48 simplr 791 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ¬ (Σ^𝐺) = +∞)
4947, 48pm2.65da 599 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
5013, 49fge0iccico 39891 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
5150adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
52 elpwinss 38698 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦𝑋)
5352adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦𝑋)
5451, 53fssresd 6028 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(0[,)+∞))
5512, 54sge0fsum 39908 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) = Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥))
56 rge0ssre 12222 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5754ffvelrnda 6315 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
5856, 57sseldi 3581 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
5912, 58fsumrecl 14398 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
6055, 59eqeltrd 2698 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6115adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
621adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝑋𝑉)
63 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ¬ (Σ^𝐺) = +∞)
6462, 61sge0repnf 39907 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ((Σ^𝐺) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^𝐺) = +∞))
6563, 64mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐺) ∈ ℝ)
6662, 61, 65sge0rern 39909 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐺)
6761, 66fge0iccico 39891 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐺:𝑋⟶(0[,)+∞))
6867adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐺:𝑋⟶(0[,)+∞))
6968, 53fssresd 6028 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐺𝑦):𝑦⟶(0[,)+∞))
7012, 69sge0fsum 39908 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) = Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥))
7169ffvelrnda 6315 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺𝑦)‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7256, 71sseldi 3581 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
7312, 72fsumrecl 14398 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
7470, 73eqeltrd 2698 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) ∈ ℝ)
7565adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^𝐺) ∈ ℝ)
76 simplll 797 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝜑)
7753sselda 3583 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑋)
7876, 77, 30syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
79 fvres 6164 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦 → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
8079adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
81 fvres 6164 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦 → ((𝐺𝑦)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8281adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺𝑦)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8380, 82breq12d 4626 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ ((𝐺𝑦)‘𝑥) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥)))
8478, 83mpbird 247 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ ((𝐺𝑦)‘𝑥))
8512, 58, 72, 84fsumle 14458 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥))
8655, 70breq12d 4626 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝐺𝑦)) ↔ Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥)))
8785, 86mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝐺𝑦)))
881adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋𝑉)
8915adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
9088, 89sge0less 39913 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9190adantlr 750 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9260, 74, 75, 87, 91letrd 10138 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9392ralrimiva 2960 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9462, 61sge0xrcl 39906 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐺) ∈ ℝ*)
9562, 13, 94sge0lefi 39919 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ((Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^𝐺)))
9693, 95mpbird 247 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
9710, 96pm2.61dan 831 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  cin 3554  wss 3555  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613  ran crn 5075  cres 5076   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cr 9879  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  *cxr 10017  cle 10019  [,)cico 12119  [,]cicc 12120  Σcsu 14350  Σ^csumge0 39883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-sumge0 39884
This theorem is referenced by:  sge0lempt  39931
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