Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0lefi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0lefi 41003
Description: A sum of nonnegative extended reals is smaller than a given extended real if and only if every finite subsum is smaller than it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0lefi.1 (𝜑𝑋𝑉)
sge0lefi.2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0lefi.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
sge0lefi (𝜑 → ((Σ^𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0lefi
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
2 sge0lefi.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
32adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4 elpwinss 39600 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥𝑋)
54adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥𝑋)
63, 5fssresd 6152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
71, 6sge0xrcl 40990 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
87adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
9 sge0lefi.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
109, 2sge0xrcl 40990 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
1110ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
12 sge0lefi.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1312ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
149adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋𝑉)
1514, 3sge0less 40997 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ (Σ^𝐹))
1615adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ (Σ^𝐹))
17 simplr 809 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^𝐹) ≤ 𝐴)
188, 11, 13, 16, 17xrletrd 12075 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴)
1918ralrimiva 3036 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴)
2019ex 449 . 2 (𝜑 → ((Σ^𝐹) ≤ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴))
219, 2sge0sup 40996 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))), ℝ*, < ))
2221adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))), ℝ*, < ))
23 vex 3275 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
24 eqid 2692 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))
2524elrnmpt 5447 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥))))
2623, 25ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥)))
2726biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥)))
2827adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥)))
29 nfv 1924 . . . . . . . . . 10 𝑥𝜑
30 nfra1 3011 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴
3129, 30nfan 1909 . . . . . . . . 9 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴)
32 nfcv 2834 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦
33 nfmpt1 4823 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))
3433nfrn 5443 . . . . . . . . . 10 𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))
3532, 34nfel 2847 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))
3631, 35nfan 1909 . . . . . . . 8 𝑥((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))))
37 nfv 1924 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦𝐴
38 simp3 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥))) → 𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥)))
39 rspa 3000 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴)
40393adant3 1124 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥))) → (Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴)
4138, 40eqbrtrd 4750 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥))) → 𝑦𝐴)
42413adant1l 1399 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥))) → 𝑦𝐴)
43423exp 1112 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥)) → 𝑦𝐴)))
4443adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥)) → 𝑦𝐴)))
4536, 37, 44rexlimd 3096 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥)) → 𝑦𝐴))
4628, 45mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))) → 𝑦𝐴)
4746ralrimiva 3036 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))𝑦𝐴)
487ralrimiva 3036 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
4924rnmptss 6475 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) ⊆ ℝ*)
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) ⊆ ℝ*)
5150adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) ⊆ ℝ*)
5212adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
53 supxrleub 12238 . . . . . 6 ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))𝑦𝐴))
5451, 52, 53syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))𝑦𝐴))
5547, 54mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))), ℝ*, < ) ≤ 𝐴)
5622, 55eqbrtrd 4750 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → (Σ^𝐹) ≤ 𝐴)
5756ex 449 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴 → (Σ^𝐹) ≤ 𝐴))
5820, 57impbid 202 1 (𝜑 → ((Σ^𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1564  wcel 2071  wral 2982  wrex 2983  Vcvv 3272  cin 3647  wss 3648  𝒫 cpw 4234   class class class wbr 4728  cmpt 4805  ran crn 5187  cres 5188  wf 5965  cfv 5969  (class class class)co 6733  Fincfn 8040  supcsup 8430  0cc0 10017  +∞cpnf 10152  *cxr 10154   < clt 10155  cle 10156  [,]cicc 12260  Σ^csumge0 40967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-inf2 8619  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094  ax-pre-sup 10095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-fal 1570  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-int 4552  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-se 5146  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-isom 5978  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-1o 7648  df-oadd 7652  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-fin 8044  df-sup 8432  df-oi 8499  df-card 8846  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-div 10766  df-nn 11102  df-2 11160  df-3 11161  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-rp 11915  df-ico 12263  df-icc 12264  df-fz 12409  df-fzo 12549  df-seq 12885  df-exp 12944  df-hash 13201  df-cj 13927  df-re 13928  df-im 13929  df-sqrt 14063  df-abs 14064  df-clim 14307  df-sum 14505  df-sumge0 40968
This theorem is referenced by:  sge0le  41012  sge0iunmptlemre  41020  sge0lefimpt  41028  caratheodorylem2  41132
  Copyright terms: Public domain W3C validator