Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0ltfirpmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0ltfirpmpt2 39947
Description: If the extended sum of nonnegative reals is not +∞, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0ltfirpmpt2.xph 𝑥𝜑
sge0ltfirpmpt2.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0ltfirpmpt2.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0ltfirpmpt2.rp (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
sge0ltfirpmpt2.re (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0ltfirpmpt2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝑌   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem sge0ltfirpmpt2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0ltfirpmpt2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0ltfirpmpt2.xph . . . 4 𝑥𝜑
3 sge0ltfirpmpt2.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2621 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 6342 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6 sge0ltfirpmpt2.rp . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
7 sge0ltfirpmpt2.re . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
81, 5, 6, 7sge0ltfirp 39921 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
9 simpr 477 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
10 elpwinss 38698 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
1110resmptd 5411 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦) = (𝑥𝑦𝐵))
1211fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
1312adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
14 elinel2 3778 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
1514adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
16 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
172, 16nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18 simpll 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝜑)
1910sselda 3583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
2019adantll 749 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
212, 1, 3, 7sge0rernmpt 39943 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
2218, 20, 21syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
23 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦𝐵) = (𝑥𝑦𝐵)
2417, 22, 23fmptdf 6342 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝑦𝐵):𝑦⟶(0[,)+∞))
2515, 24sge0fsum 39908 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) = Σ𝑘𝑦 ((𝑥𝑦𝐵)‘𝑘))
26 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑦)
27 simpll 789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
2810sselda 3583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
2928adantll 749 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
30 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 𝑘𝐴
312, 30nfan 1825 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑𝑘𝐴)
32 nfcsb1v 3530 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑘 / 𝑥𝐵
3332nfel1 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)
3431, 33nfim 1822 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))
35 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥𝐴𝑘𝐴))
3635anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑘𝐴)))
37 csbeq1a 3523 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵)
3837eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
3936, 38imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑘 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
4034, 39, 21chvar 2261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4127, 29, 40syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))
42 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝐵
4342, 32, 37cbvmpt 4709 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑦𝐵) = (𝑘𝑦𝑘 / 𝑥𝐵)
4443fvmpt2 6248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝑦𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥𝑦𝐵)‘𝑘) = 𝑘 / 𝑥𝐵)
4526, 41, 44syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → ((𝑥𝑦𝐵)‘𝑘) = 𝑘 / 𝑥𝐵)
4645sumeq2dv 14367 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 ((𝑥𝑦𝐵)‘𝑘) = Σ𝑘𝑦 𝑘 / 𝑥𝐵)
47 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘𝑘 = 𝑥)
4847imbi1i 339 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵))
49 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
5049imbi2i 326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
5148, 50bitri 264 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
5237, 51mpbi 220 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑥𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
53 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦
54 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑦
5552, 53, 54, 32, 42cbvsum 14359 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘𝑦 𝑘 / 𝑥𝐵 = Σ𝑥𝑦 𝐵
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝑘 / 𝑥𝐵 = Σ𝑥𝑦 𝐵)
5746, 56eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 ((𝑥𝑦𝐵)‘𝑘) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
5813, 25, 573eqtrd 2659 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
5958oveq1d 6619 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌))
6059adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌))
619, 60breqtrd 4639 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌))
6261ex 450 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌)))
6362reximdva 3011 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌)))
648, 63mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wrex 2908  csb 3514  cin 3554  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cres 5076  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883  +∞cpnf 10015   < clt 10018  +crp 11776  [,)cico 12119  [,]cicc 12120  Σcsu 14350  Σ^csumge0 39883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-sumge0 39884
This theorem is referenced by:  sge0xaddlem2  39955  sge0gtfsumgt  39964
  Copyright terms: Public domain W3C validator