Theorem sge0prle 39922

Description: The sum of a pair of nonnegative extended reals is less than or equal their extended addition. When it is a distinct pair, than equality holds, see sge0pr 39915. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0prle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0prle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0prle.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.cd	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐷)
sge0prle.ce	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
sge0prle	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0prle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1 4238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
2		dfsn2 4161	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
3	2	eqcomi 2630	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
5	1, 4	eqtrd 2655	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
6	5	mpteq1d 4698	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))
7	6	fveq2d 6152	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
8	7	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
9		sge0prle.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
10		sge0prle.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
11		sge0prle.ce	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐸)
12	9, 10, 11	sge0snmpt 39904	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
13	12	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
14	8, 13	eqtrd 2655	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
15		iccssxr 12198	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
16	15, 10	sseldi 3581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
17	16	xaddid2d 38996	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) = 𝐸)
18	17	eqcomd 2627	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (0 +𝑒 𝐸))
19		0xr 10030	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
21		sge0prle.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
22	15, 21	sseldi 3581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
23		pnfxr 10036	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
25		iccgelb 12172	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐷)
26	20, 24, 21, 25	syl3anc 1323	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
27	20, 22, 16, 26	xleadd1d 39006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
28	18, 27	eqbrtrd 4635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
29	28	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
30	14, 29	eqbrtrd 4635	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
31		sge0prle.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
32	31	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
33	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
34	21	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
35	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
36		sge0prle.cd	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐷)
37		neqne 2798	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
38	37	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
39	32, 33, 34, 35, 36, 11, 38	sge0pr 39915	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
40	22, 16	xaddcld 12074	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ∈ ℝ*)
41		xrleid 11927	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 +𝑒 𝐸) ∈ ℝ* → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
42	40, 41	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
43	42	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
44	39, 43	eqbrtrd 4635	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
45	30, 44	pm2.61dan 831	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {csn 4148  {cpr 4150   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  ℝ^*cxr 10017   ≤ cle 10019   +_𝑒 cxad 11888  [,]cicc 12120  Σ^{^}csumge0 39883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-sumge0 39884

This theorem is referenced by:  omeunle  40034