Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0prle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0prle 41121
Description: The sum of a pair of nonnegative extended reals is less than or equal their extended addition. When it is a distinct pair, than equality holds, see sge0pr 41114. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0prle.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0prle.b (𝜑𝐵𝑊)
sge0prle.d (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.e (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.cd (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
sge0prle.ce (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
sge0prle (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0prle
StepHypRef Expression
1 preq1 4412 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
2 dfsn2 4334 . . . . . . . . . 10 {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
32eqcomi 2769 . . . . . . . . 9 {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
51, 4eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
65mpteq1d 4890 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))
76fveq2d 6356 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
87adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
9 sge0prle.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑊)
10 sge0prle.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
11 sge0prle.ce . . . . . 6 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
129, 10, 11sge0snmpt 41103 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
1312adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
148, 13eqtrd 2794 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
15 iccssxr 12449 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
1615, 10sseldi 3742 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
1716xaddid2d 40033 . . . . . 6 (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) = 𝐸)
1817eqcomd 2766 . . . . 5 (𝜑𝐸 = (0 +𝑒 𝐸))
19 0xr 10278 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
21 sge0prle.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
2215, 21sseldi 3742 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
23 pnfxr 10284 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
25 iccgelb 12423 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐷)
2620, 24, 21, 25syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
2720, 22, 16, 26xleadd1d 40043 . . . . 5 (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
2818, 27eqbrtrd 4826 . . . 4 (𝜑𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
2928adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
3014, 29eqbrtrd 4826 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
31 sge0prle.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
3231adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑉)
339adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝑊)
3421adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
3510adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
36 sge0prle.cd . . . 4 (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
37 neqne 2940 . . . . 5 𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
3837adantl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
3932, 33, 34, 35, 36, 11, 38sge0pr 41114 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
4022, 16xaddcld 12324 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ∈ ℝ*)
41 xrleid 12176 . . . . 5 ((𝐷 +𝑒 𝐸) ∈ ℝ* → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
4240, 41syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
4342adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
4439, 43eqbrtrd 4826 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
4530, 44pm2.61dan 867 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  *cxr 10265  cle 10267   +𝑒 cxad 12137  [,]cicc 12371  Σ^csumge0 41082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-sumge0 41083
This theorem is referenced by:  omeunle  41236
  Copyright terms: Public domain W3C validator