Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0resrnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0resrnlem 41123
Description: The sum of nonnegative extended reals restricted to the range of a function is less or equal to the sum of the composition of the two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0resrnlem.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0resrnlem.f (𝜑𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
sge0resrnlem.g (𝜑𝐺:𝐴𝐵)
sge0resrnlem.x (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
sge0resrnlem.f1o (𝜑 → (𝐺𝑋):𝑋1-1-onto→ran 𝐺)
Assertion
Ref Expression
sge0resrnlem (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))

Proof of Theorem sge0resrnlem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1992 . . . 4 𝑦𝜑
2 nfv 1992 . . . 4 𝑥𝜑
3 fveq2 6352 . . . 4 (𝑦 = (𝐺𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
4 sge0resrnlem.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
5 sge0resrnlem.f1o . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋):𝑋1-1-onto→ran 𝐺)
6 fvres 6368 . . . . 5 (𝑥𝑋 → ((𝐺𝑋)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
76adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐺𝑋)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8 sge0resrnlem.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
98adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
10 sge0resrnlem.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝐴𝐵)
11 frn 6214 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐴𝐵 → ran 𝐺𝐵)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐺𝐵)
1312adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → ran 𝐺𝐵)
14 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
1513, 14sseldd 3745 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦𝐵)
169, 15ffvelrnd 6523 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞))
171, 2, 3, 4, 5, 7, 16sge0f1o 41102 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹𝑦))) = (Σ^‘(𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥)))))
188, 12feqresmpt 6412 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ran 𝐺) = (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹𝑦)))
1918fveq2d 6356 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹𝑦))))
20 fcompt 6563 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴𝐵) → (𝐹𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
218, 10, 20syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
2221reseq1d 5550 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ↾ 𝑋) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))) ↾ 𝑋))
234elpwid 4314 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐴)
2423resmptd 5610 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
2522, 24eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
2625fveq2d 6356 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘((𝐹𝐺) ↾ 𝑋)) = (Σ^‘(𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥)))))
2717, 19, 263eqtr4d 2804 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘((𝐹𝐺) ↾ 𝑋)))
28 sge0resrnlem.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
29 fco 6219 . . . 4 ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
308, 10, 29syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
3128, 30sge0less 41112 . 2 (𝜑 → (Σ^‘((𝐹𝐺) ↾ 𝑋)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))
3227, 31eqbrtrd 4826 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ran crn 5267  cres 5268  ccom 5270  wf 6045  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  cle 10267  [,]cicc 12371  Σ^csumge0 41082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-sumge0 41083
This theorem is referenced by:  sge0resrn  41124
  Copyright terms: Public domain W3C validator