Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0rnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0rnn0 39889
 Description: The range used in the definition of Σ^ is not empty. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
sge0rnn0 ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ≠ ∅
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem sge0rnn0
StepHypRef Expression
1 0elpw 4794 . . . . 5 ∅ ∈ 𝒫 𝑋
2 0fin 8132 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
31, 2elini 3775 . . . 4 ∅ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)
4 sum0 14385 . . . . 5 Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦) = 0
54eqcomi 2630 . . . 4 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)
6 sumeq1 14353 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦))
76eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (0 = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ↔ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)))
87rspcev 3295 . . . 4 ((∅ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
93, 5, 8mp2an 707 . . 3 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)
10 0re 9984 . . . 4 0 ∈ ℝ
11 eqid 2621 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
1211elrnmpt 5332 . . . 4 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
1310, 12ax-mp 5 . . 3 (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
149, 13mpbir 221 . 2 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
15 ne0i 3897 . 2 (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ≠ ∅)
1614, 15ax-mp 5 1 ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ≠ ∅
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2908   ∩ cin 3554  ∅c0 3891  𝒫 cpw 4130   ↦ cmpt 4673  ran crn 5075  ‘cfv 5847  Fincfn 7899  ℝcr 9879  0cc0 9880  Σcsu 14350 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351 This theorem is referenced by:  sge0supre  39910  sge0ltfirp  39921  sge0resplit  39927
 Copyright terms: Public domain W3C validator