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Theorem sge0rpcpnf 39932
Description: The sum of an infinite number of a positive constant, is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0rpcpnf.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0rpcpnf.nfi (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
sge0rpcpnf.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
sge0rpcpnf (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = +∞)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0rpcpnf
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0rpcpnf.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑉)
21adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → 𝐴𝑉)
3 0xr 10031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 10037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
7 sge0rpcpnf.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
87rpxrd 11817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
97rpge0d 11820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
107rpred 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
11 ltpnf 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 < +∞)
138, 6, 12xrltled 38937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ≤ +∞)
144, 6, 8, 9, 13eliccxrd 39151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
1715, 16fmptd 6341 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
1817adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
192, 18sge0xrcl 39896 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
205a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
21 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞)
2219, 20, 21xrgtned 38989 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → +∞ ≠ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)))
2322necomd 2851 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ≠ +∞)
2423neneqd 2801 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = +∞)
252, 18sge0repnf 39897 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = +∞))
2624, 25mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2710adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
287rpne0d 11821 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ 0)
2928adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → 𝐵 ≠ 0)
3026, 27, 29redivcld 10798 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ)
31 arch 11234 . . . . 5 (((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛)
3230, 31syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛)
33 sge0rpcpnf.nfi . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
34 ishashinf 13182 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑦) = 𝑛)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑦) = 𝑛)
3635r19.21bi 2932 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑦) = 𝑛)
37 df-rex 2918 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑦) = 𝑛 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛))
3836, 37sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛))
3938adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛))
40393adant3 1079 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛))
41 nfv 1845 . . . . . . . . 9 𝑦((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛)
42 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
43 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑦) = 𝑛) → (#‘𝑦) = 𝑛)
44 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑦) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ)
4543, 44eqeltrd 2704 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑦) = 𝑛) → (#‘𝑦) ∈ ℕ)
46 nnnn0 11244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑦) ∈ ℕ → (#‘𝑦) ∈ ℕ0)
47 vex 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑦) ∈ ℕ → 𝑦 ∈ V)
49 hashclb 13086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ Fin ↔ (#‘𝑦) ∈ ℕ0))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑦) ∈ ℕ → (𝑦 ∈ Fin ↔ (#‘𝑦) ∈ ℕ0))
5146, 50mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑦) ∈ ℕ → 𝑦 ∈ Fin)
5245, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑦) = 𝑛) → 𝑦 ∈ Fin)
5352adantrl 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → 𝑦 ∈ Fin)
54533ad2antl2 1222 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → 𝑦 ∈ Fin)
5542, 54elind 3781 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
56 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛)
57263ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
58 nnre 10972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
59583ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
607adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → 𝐵 ∈ ℝ+)
61603ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ+)
6257, 59, 61ltdivmul2d 11868 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → (((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛 ↔ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (𝑛 · 𝐵)))
6356, 62mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (𝑛 · 𝐵))
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (𝑛 · 𝐵))
6553adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → 𝑦 ∈ Fin)
663a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥𝑦) → 0 ∈ ℝ*)
675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥𝑦) → +∞ ∈ ℝ*)
688ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ*)
699ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥𝑦) → 0 ≤ 𝐵)
7012ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 < +∞)
7166, 67, 68, 69, 70elicod 12163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
7265, 71sge0fsummpt 39901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
7310recnd 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
7473ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → 𝐵 ∈ ℂ)
75 fsumconst 14445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑥𝑦 𝐵 = ((#‘𝑦) · 𝐵))
7665, 74, 75syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → Σ𝑥𝑦 𝐵 = ((#‘𝑦) · 𝐵))
77 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑦) = 𝑛 → ((#‘𝑦) · 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
7877adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛) → ((#‘𝑦) · 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
7978adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → ((#‘𝑦) · 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
8072, 76, 793eqtrrd 2665 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → (𝑛 · 𝐵) = (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
8180adantllr 754 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → (𝑛 · 𝐵) = (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
82813adantl3 1217 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → (𝑛 · 𝐵) = (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
8364, 82breqtrd 4644 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
8455, 83jca 554 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵))))
8584ex 450 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛) → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))))
8641, 85eximd 2088 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))))
8740, 86mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵))))
88 df-rex 2918 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵))))
8987, 88sylibr 224 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
90893exp 1261 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → (𝑛 ∈ ℕ → (((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))))
9190rexlimdv 3028 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵))))
9232, 91mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
931adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴𝑉)
9415adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
95 elpwinss 38687 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
9695adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
9793, 94, 96sge0lessmpt 39910 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)))
98 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
9914adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
100 eqid 2626 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑦𝐵) = (𝑥𝑦𝐵)
10199, 100fmptd 6341 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝑦𝐵):𝑦⟶(0[,]+∞))
102101adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝑦𝐵):𝑦⟶(0[,]+∞))
10398, 102sge0xrcl 39896 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) ∈ ℝ*)
1041, 17sge0xrcl 39896 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
105104adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
106103, 105xrlenltd 10049 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ↔ ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵))))
10797, 106mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
108107ralrimiva 2965 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
109 ralnex 2991 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
110108, 109sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
111110adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
11292, 111pm2.65da 599 . 2 (𝜑 → ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞)
113 nltpnft 11939 . . 3 ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ* → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞))
114104, 113syl 17 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞))
115112, 114mpbird 247 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  Vcvv 3191  cin 3559  wss 3560  𝒫 cpw 4135   class class class wbr 4618  cmpt 4678  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881   · cmul 9886  +∞cpnf 10016  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020   / cdiv 10629  cn 10965  0cn0 11237  +crp 11776  [,]cicc 12117  #chash 13054  Σcsu 14345  Σ^csumge0 39873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-sumge0 39874
This theorem is referenced by:  hoicvrrex  40064
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