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Theorem sge0xadd 39946
Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0xadd.kph 𝑘𝜑
sge0xadd.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0xadd.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0xadd.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0xadd (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0xadd
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
21oveq1d 6620 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = (+∞ +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
3 sge0xadd.kph . . . . . 6 𝑘𝜑
4 sge0xadd.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
5 sge0xadd.c . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
63, 4, 5sge0xrclmpt 39939 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ*)
7 eqid 2626 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
83, 5, 7fmptdf 6343 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
94, 8sge0nemnf 39931 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ≠ -∞)
10 xaddpnf2 12000 . . . . 5 (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = +∞)
116, 9, 10syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (+∞ +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = +∞)
1211adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (+∞ +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = +∞)
13 sge0xadd.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14 ge0xaddcl 12225 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
1513, 5, 14syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
163, 4, 15sge0xrclmpt 39939 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
1716adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
18 id 22 . . . . . . . 8 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
1918eqcomd 2632 . . . . . . 7 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
2019adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
214elexd 3205 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ V)
22 iccssxr 12195 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2322, 13sseldi 3586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2423, 5xadd0ge 38987 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
253, 21, 13, 15, 24sge0lempt 39921 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
2625adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
2720, 26eqbrtrd 4640 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
2817, 27xrgepnfd 38998 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = +∞)
2928eqcomd 2632 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
302, 12, 293eqtrrd 2665 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
31 simpl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → 𝜑)
32 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
33 eqid 2626 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
343, 13, 33fmptdf 6343 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
354, 34sge0repnf 39897 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞))
3635adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞))
3732, 36mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
38 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞)
3938oveq2d 6621 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒 +∞))
404, 34sge0xrcl 39896 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
414, 34sge0nemnf 39931 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ≠ -∞)
42 xaddpnf1 11999 . . . . . . . 8 (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ≠ -∞) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
4340, 41, 42syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
4443adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
4516adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
46 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞)
4746eqcomd 2632 . . . . . . . . . 10 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
4847adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
4922, 5sseldi 3586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5049, 13xadd0ge2 39008 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
513, 4, 5, 15, 50sge0lempt 39921 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5251adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5348, 52eqbrtrd 4640 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5445, 53xrgepnfd 38998 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = +∞)
5554eqcomd 2632 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5639, 44, 553eqtrrd 2665 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
5756adantlr 750 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
58 simpl 473 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ))
59 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞)
604, 8sge0repnf 39897 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞))
6160adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞))
6259, 61mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
6362adantlr 750 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
644ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
65 nfcv 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘Σ^
66 nfmpt1 4712 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝑘𝐴𝐵)
6765, 66nffv 6157 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐵))
68 nfcv 2767 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘
6967, 68nfel 2779 . . . . . . . . . . . 12 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ
703, 69nfan 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
71 nfv 1845 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑗𝐴
7270, 71nfan 1830 . . . . . . . . . 10 𝑘((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴)
73 nfcsb1v 3535 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
7473nfel1 2781 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞)
7572, 74nfim 1827 . . . . . . . . 9 𝑘(((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))
76 eleq1 2692 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
7776anbi2d 739 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴)))
78 csbeq1a 3528 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
7978eleq1d 2688 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
8077, 79imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
814adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
8213adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
83 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
8470, 81, 82, 83sge0rernmpt 39933 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
8575, 80, 84chvar 2266 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))
8685adantlr 750 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))
87 nfmpt1 4712 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝑘𝐴𝐶)
8865, 87nffv 6157 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐶))
8988, 68nfel 2779 . . . . . . . . . . . 12 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ
903, 89nfan 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
9190, 71nfan 1830 . . . . . . . . . 10 𝑘((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴)
92 nfcsb1v 3535 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
9392nfel1 2781 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞)
9491, 93nfim 1827 . . . . . . . . 9 𝑘(((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9576anbi2d 739 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴)))
96 csbeq1a 3528 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
9796eleq1d 2688 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞)))
9895, 97imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
994adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
1005adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
101 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
10290, 99, 100, 101sge0rernmpt 39933 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
10394, 98, 102chvar 2266 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))
104103adantllr 754 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))
105 nfcv 2767 . . . . . . . . . 10 𝑗𝐵
106105, 73, 78cbvmpt 4714 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)
107106fveq2i 6153 . . . . . . . 8 ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
108 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
109107, 108syl5eqelr 2709 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) ∈ ℝ)
110 nfcv 2767 . . . . . . . . . 10 𝑗𝐶
111110, 92, 96cbvmpt 4714 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)
112111fveq2i 6153 . . . . . . . 8 ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶))
113 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
114112, 113syl5eqelr 2709 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ)
11564, 86, 104, 109, 114sge0xaddlem2 39945 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (𝑗 / 𝑘𝐵 +𝑒 𝑗 / 𝑘𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) +𝑒^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶))))
116 nfcv 2767 . . . . . . . . 9 𝑗(𝐵 +𝑒 𝐶)
117 nfcv 2767 . . . . . . . . . 10 𝑘 +𝑒
11873, 117, 92nfov 6631 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐵 +𝑒 𝑗 / 𝑘𝐶)
11978, 96oveq12d 6623 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝑗 / 𝑘𝐵 +𝑒 𝑗 / 𝑘𝐶))
120116, 118, 119cbvmpt 4714 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝑗𝐴 ↦ (𝑗 / 𝑘𝐵 +𝑒 𝑗 / 𝑘𝐶))
121120fveq2i 6153 . . . . . . 7 ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (𝑗 / 𝑘𝐵 +𝑒 𝑗 / 𝑘𝐶)))
122107, 112oveq12i 6617 . . . . . . 7 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) +𝑒^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)))
123121, 122eqeq12i 2640 . . . . . 6 ((Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) ↔ (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (𝑗 / 𝑘𝐵 +𝑒 𝑗 / 𝑘𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) +𝑒^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶))))
124115, 123sylibr 224 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
12558, 63, 124syl2anc 692 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
12657, 125pm2.61dan 831 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
12731, 37, 126syl2anc 692 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
12830, 127pm2.61dan 831 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1992  wne 2796  Vcvv 3191  csb 3519   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5850  (class class class)co 6605  cr 9880  0cc0 9881  +∞cpnf 10016  -∞cmnf 10017  *cxr 10018  cle 10020   +𝑒 cxad 11888  [,)cico 12116  [,]cicc 12117  Σ^csumge0 39873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-sumge0 39874
This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  40078  hspmbllem2  40135  ovolval5lem1  40160
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