Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgmmul 25125
 Description: The divisor function for fixed parameter 𝐴 is a multiplicative function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgmmul ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐴 σ (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 σ 𝑀) · (𝐴 σ 𝑁)))

Proof of Theorem sgmmul
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1234 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑀 ∈ ℕ)
2 simpr2 1236 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 simpr3 1238 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4 eqid 2760 . . 3 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀}
5 eqid 2760 . . 3 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
6 eqid 2760 . . 3 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
7 ssrab2 3828 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ⊆ ℕ
8 simpr 479 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀}) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀})
97, 8sseldi 3742 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀}) → 𝑗 ∈ ℕ)
109nncnd 11228 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀}) → 𝑗 ∈ ℂ)
11 simpll 807 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀}) → 𝐴 ∈ ℂ)
1210, 11cxpcld 24653 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀}) → (𝑗𝑐𝐴) ∈ ℂ)
13 ssrab2 3828 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ ℕ
14 simpr 479 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
1513, 14sseldi 3742 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑘 ∈ ℕ)
1615nncnd 11228 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑘 ∈ ℂ)
17 simpll 807 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝐴 ∈ ℂ)
1816, 17cxpcld 24653 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑘𝑐𝐴) ∈ ℂ)
199adantrr 755 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})) → 𝑗 ∈ ℕ)
2019nnred 11227 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})) → 𝑗 ∈ ℝ)
2119nnnn0d 11543 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})) → 𝑗 ∈ ℕ0)
2221nn0ge0d 11546 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})) → 0 ≤ 𝑗)
2315adantrl 754 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})) → 𝑘 ∈ ℕ)
2423nnred 11227 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})) → 𝑘 ∈ ℝ)
2523nnnn0d 11543 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2625nn0ge0d 11546 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})) → 0 ≤ 𝑘)
27 simpll 807 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})) → 𝐴 ∈ ℂ)
2820, 22, 24, 26, 27mulcxpd 24673 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})) → ((𝑗 · 𝑘)↑𝑐𝐴) = ((𝑗𝑐𝐴) · (𝑘𝑐𝐴)))
2928eqcomd 2766 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})) → ((𝑗𝑐𝐴) · (𝑘𝑐𝐴)) = ((𝑗 · 𝑘)↑𝑐𝐴))
30 oveq1 6820 . . 3 (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → (𝑖𝑐𝐴) = ((𝑗 · 𝑘)↑𝑐𝐴))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 18, 29, 30fsumdvdsmul 25120 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} (𝑗𝑐𝐴) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑘𝑐𝐴)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)} (𝑖𝑐𝐴))
32 sgmval 25067 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝑀) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} (𝑗𝑐𝐴))
331, 32syldan 488 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐴 σ 𝑀) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} (𝑗𝑐𝐴))
34 sgmval 25067 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝑁) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑘𝑐𝐴))
352, 34syldan 488 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐴 σ 𝑁) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑘𝑐𝐴))
3633, 35oveq12d 6831 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴 σ 𝑀) · (𝐴 σ 𝑁)) = (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} (𝑗𝑐𝐴) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑘𝑐𝐴)))
371, 2nnmulcld 11260 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
38 sgmval 25067 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ) → (𝐴 σ (𝑀 · 𝑁)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)} (𝑖𝑐𝐴))
3937, 38syldan 488 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐴 σ (𝑀 · 𝑁)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)} (𝑖𝑐𝐴))
4031, 36, 393eqtr4rd 2805 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐴 σ (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 σ 𝑀) · (𝐴 σ 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {crab 3054   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  1c1 10129   · cmul 10133  ℕcn 11212  Σcsu 14615   ∥ cdvds 15182   gcd cgcd 15418  ↑𝑐ccxp 24501   σ csgm 25021 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-cxp 24503  df-sgm 25027 This theorem is referenced by:  perfect1  25152  perfectlem1  25153  perfectlem2  25154  perfectALTVlem1  42140  perfectALTVlem2  42141
 Copyright terms: Public domain W3C validator